Saat ini, aku'm mencoba untuk membuat beberapa beziers memiliki poin sama. I'm saat ini menggunakan interpolasi kubik untuk menemukan poin, tapi karena cara beziers bekerja beberapa daerah yang lebih padat daripada yang lain dan membuktikan kotor untuk pemetaan tekstur karena variabel jarak. Apakah ada cara untuk menemukan titik-titik pada bezier oleh jarak bukan dengan persentase? Selain itu, adalah mungkin untuk memperpanjang ini untuk beberapa terhubung kurva?
Ini disebut "panjang busur" demikian. Saya menulis sebuah paper tentang hal ini beberapa tahun yang lalu:
http://www.saccade.com/writing/graphics/RE-PARAM.PDF
Idenya adalah untuk pra-menghitung "demikian" kurva, dan mengevaluasi kurva melalui itu.
jarak antara P_0 dan P_3 (dalam bentuk kubik), ya, tapi saya pikir anda tahu bahwa, lurus ke depan.
Jarak pada kurva adalah panjang busur:
dimana:
Mungkin, anda'd memiliki t_0 = 0, t_1 = 1.0, dan dz(t) = 0 (2d pesawat).
Saya tahu ini adalah pertanyaan lama tapi aku baru saja berlari ke dalam masalah ini dan menciptakan sebuah UIBezierPath
extention untuk memecahkan sebuah X
mengkoordinasikan diberikan Y
mengkoordinasikan dan sebaliknya. Ditulis dalam swift.
https://github.com/rkotzy/RKBezierMath
extension UIBezierPath {
func solveBezerAtY(start: CGPoint, point1: CGPoint, point2: CGPoint, end: CGPoint, y: CGFloat) -> [CGPoint] {
// bezier control points
let C0 = start.y - y
let C1 = point1.y - y
let C2 = point2.y - y
let C3 = end.y - y
// The cubic polynomial coefficients such that Bez(t) = A*t^3 + B*t^2 + C*t + D
let A = C3 - 3.0*C2 + 3.0*C1 - C0
let B = 3.0*C2 - 6.0*C1 + 3.0*C0
let C = 3.0*C1 - 3.0*C0
let D = C0
let roots = solveCubic(A, b: B, c: C, d: D)
var result = [CGPoint]()
for root in roots {
if (root >= 0 && root <= 1) {
result.append(bezierOutputAtT(start, point1: point1, point2: point2, end: end, t: root))
}
}
return result
}
func solveBezerAtX(start: CGPoint, point1: CGPoint, point2: CGPoint, end: CGPoint, x: CGFloat) -> [CGPoint] {
// bezier control points
let C0 = start.x - x
let C1 = point1.x - x
let C2 = point2.x - x
let C3 = end.x - x
// The cubic polynomial coefficients such that Bez(t) = A*t^3 + B*t^2 + C*t + D
let A = C3 - 3.0*C2 + 3.0*C1 - C0
let B = 3.0*C2 - 6.0*C1 + 3.0*C0
let C = 3.0*C1 - 3.0*C0
let D = C0
let roots = solveCubic(A, b: B, c: C, d: D)
var result = [CGPoint]()
for root in roots {
if (root >= 0 && root <= 1) {
result.append(bezierOutputAtT(start, point1: point1, point2: point2, end: end, t: root))
}
}
return result
}
func solveCubic(a: CGFloat?, var b: CGFloat, var c: CGFloat, var d: CGFloat) -> [CGFloat] {
if (a == nil) {
return solveQuadratic(b, b: c, c: d)
}
b /= a!
c /= a!
d /= a!
let p = (3 * c - b * b) / 3
let q = (2 * b * b * b - 9 * b * c + 27 * d) / 27
if (p == 0) {
return [pow(-q, 1 / 3)]
} else if (q == 0) {
return [sqrt(-p), -sqrt(-p)]
} else {
let discriminant = pow(q / 2, 2) + pow(p / 3, 3)
if (discriminant == 0) {
return [pow(q / 2, 1 / 3) - b / 3]
} else if (discriminant > 0) {
let x = crt(-(q / 2) + sqrt(discriminant))
let z = crt((q / 2) + sqrt(discriminant))
return [x - z - b / 3]
} else {
let r = sqrt(pow(-(p/3), 3))
let phi = acos(-(q / (2 * sqrt(pow(-(p / 3), 3)))))
let s = 2 * pow(r, 1/3)
return [
s * cos(phi / 3) - b / 3,
s * cos((phi + CGFloat(2) * CGFloat(M_PI)) / 3) - b / 3,
s * cos((phi + CGFloat(4) * CGFloat(M_PI)) / 3) - b / 3
]
}
}
}
func solveQuadratic(a: CGFloat, b: CGFloat, c: CGFloat) -> [CGFloat] {
let discriminant = b * b - 4 * a * c;
if (discriminant < 0) {
return []
} else {
return [
(-b + sqrt(discriminant)) / (2 * a),
(-b - sqrt(discriminant)) / (2 * a)
]
}
}
private func crt(v: CGFloat) -> CGFloat {
if (v<0) {
return -pow(-v, 1/3)
}
return pow(v, 1/3)
}
private func bezierOutputAtT(start: CGPoint, point1: CGPoint, point2: CGPoint, end: CGPoint, t: CGFloat) -> CGPoint {
// bezier control points
let C0 = start
let C1 = point1
let C2 = point2
let C3 = end
// The cubic polynomial coefficients such that Bez(t) = A*t^3 + B*t^2 + C*t + D
let A = CGPointMake(C3.x - 3.0*C2.x + 3.0*C1.x - C0.x, C3.y - 3.0*C2.y + 3.0*C1.y - C0.y)
let B = CGPointMake(3.0*C2.x - 6.0*C1.x + 3.0*C0.x, 3.0*C2.y - 6.0*C1.y + 3.0*C0.y)
let C = CGPointMake(3.0*C1.x - 3.0*C0.x, 3.0*C1.y - 3.0*C0.y)
let D = C0
return CGPointMake(((A.x*t+B.x)*t+C.x)*t+D.x, ((A.y*t+B.y)*t+C.y)*t+D.y)
}
// TODO: - future implementation
private func tangentAngleAtT(start: CGPoint, point1: CGPoint, point2: CGPoint, end: CGPoint, t: CGFloat) -> CGFloat {
// bezier control points
let C0 = start
let C1 = point1
let C2 = point2
let C3 = end
// The cubic polynomial coefficients such that Bez(t) = A*t^3 + B*t^2 + C*t + D
let A = CGPointMake(C3.x - 3.0*C2.x + 3.0*C1.x - C0.x, C3.y - 3.0*C2.y + 3.0*C1.y - C0.y)
let B = CGPointMake(3.0*C2.x - 6.0*C1.x + 3.0*C0.x, 3.0*C2.y - 6.0*C1.y + 3.0*C0.y)
let C = CGPointMake(3.0*C1.x - 3.0*C0.x, 3.0*C1.y - 3.0*C0.y)
return atan2(3.0*A.y*t*t + 2.0*B.y*t + C.y, 3.0*A.x*t*t + 2.0*B.x*t + C.x)
}
}