Saya bertanya karena, sebagai tahun pertama kalkulus mahasiswa, saya berjalan ke fakta bahwa saya tidak't cukup mendapatkan ini turun ketika memahami turunan:
Jadi, turunan adalah tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan dalam variabel, ini banyak saya dapatkan.
Hal ini, definisi 'diferensial' cenderung dalam bentuk mendefinisikan turunan dan memanggil diferensial 'an sangat kecil perubahan di x', yang baik-baik saja sejauh ini berjalan, tapi kemudian mengapa repot-repot bahkan mendefinisikan secara formal di luar membutuhkannya untuk derivatif?
Dan KEMUDIAN, berdarah diferensial mulai muncul sebagai fungsi integral, di mana ia muncul untuk diabaikan bagian dari waktu, kemudian berfungsi sebagai variabel yang lain.
Mengapa saya mengatakan 'praktis'? Karena ketika saya meminta penjelasan dari pihak matematika, aku punya satu yang melibatkan grafik fungsi dan cara, diberikan hak-sudut segitiga, turunan adalah salah satu sudut lain, di mana diferensial adalah garis yang berlawanan sudut.
I'm yakin bahwa penjelasan yang benar sejauh ia pergi, tapi itu doesn't memberitahu saya apa diferensial TIDAK, atau mengapa hal itu's yang berguna, yang adalah dua fakta yang saya butuhkan dalam rangka untuk benar-benar memahaminya.
Bantuan apapun?
Awalnya, "perbedaan" dan "derivatif" yang erat, dengan turunan yang didefinisikan sebagai rasio diferensial dari fungsi diferensial dari variabel (lihat saya pembahasan sebelumnya di Leibnitz notasi untuk turunan). Perbedaan yang cukup "kecil sekali perubahan" di nikmati
, dan turunan dari $y$ sehubungan dengan $x$ adalah rasio yang kecil sekali perubahan di $y$ relatif kecil sekali perubahan di $x$.
Untuk integral, "perbedaan" datang karena, di Leibnitz's cara berpikir tentang mereka, integral adalah jumlah yang jauh lebih banyak amat sangat tipis empat persegi panjang yang terletak di bawah grafik fungsi. Setiap persegi panjang akan memiliki ketinggian $y$ dan dasar $dx$ (kecil sekali perubahan di $x$), sehingga luas persegi panjang akan menjadi $y\,dx$ (kali tinggi tempat), dan kami akan menambahkan mereka semua sebagai $S\; y\,dx$ untuk mendapatkan total area (integral tanda awalnya memanjang $S$, "summa", atau sum).
Infinitesimals, bagaimanapun, menyebabkan segala macam sakit kepala dan masalah. Banyak dari penalaran tentang infinitesimals itu, well, let's mengatakan tidak sepenuhnya ketat (atau logis); beberapa perbedaan dipecat sebagai "benar-benar ngawur", sementara yang lain diperhitungkan. Misalnya, produk aturan akan berpendapat dengan mengatakan bahwa perubahan di $fg$ diberikan oleh
$$(f+df)(g+dg) -fg = fdg + gdf + df\,dg,$$
dan kemudian mengabaikan $df\,dg$ sebagai tidak penting, karena itu adalah produk dari dua infinitesimals; tetapi jika infinitesimals yang sangat kecil dapat diabaikan, mengapa kita tidak abaikan kecil sekali perubahan $dg$ di faktor pertama? Nah, anda bisa melambaikan tangan anda banyak terengah-engah, tapi di akhir argumen dasarnya rusak menjadi omong kosong, atau masalah itu diabaikan karena hal-hal bekerja terlepas (sebagian besar waktu, sih).
Anyway, ada kebutuhan yang lebih padat pemahaman dari apa yang derivatif dan diferensial sebenarnya sehingga kita dapat benar-benar alasan tentang mereka; yang's di mana batas-batas yang masuk. Derivatif yang tidak lagi rasio, melainkan batas. Integral tidak lagi terbatas jumlah amat sangat tipis persegi panjang, sekarang mereka adalah batas jumlah Riemann (masing-masing terbatas dan tidak ada infinitesimals sekitar), dll.
Notasi yang tersisa, meskipun, karena hal ini sangat berguna notasi dan sangat sugestif. Dalam integral kasus, misalnya, "dx" tidak lagi benar-benar kuantitas atau fungsi yang dikalikan: it's terbaik untuk berpikir itu sebagai "penutup kurung" yang berlangsung dengan "pembukaan kurung" dari integral (yang adalah, anda mengintegrasikan apapun adalah antara $\int$ dan $dx$, sama seperti ketika anda memiliki $2(84+3)$, anda mengalikan dengan $2$ apa pun adalah antara $($ dan $)$ ). Tapi hal ini sangat berguna, karena untuk contoh ini membantu anda melacak perubahan apa yang perlu dilakukan ketika anda melakukan perubahan dari variabel. Salah satu yang bisa membenarkan perubahan dari variabel tanpa menarik sekali untuk "perbedaan" (apa pun yang mereka mungkin), tapi notasi hanya membawa anda melalui perubahan-perubahan yang diperlukan, agar kita memperlakukan mereka seolah-olah mereka sebenarnya fungsi yang dikalikan dengan integran karena mereka membantu menjaga kita di jalur yang benar dan membuat kita tetap jujur.
Tapi di sini adalah aplikasi yang sakit-kept secret: kita hebat matematika cenderung malas. Jika kita've sudah datang dengan argumen yang valid untuk situasi ini, kita don't ingin memiliki untuk datang dengan yang baru argumen yang valid untuk situasi B jika kita hanya bisa menjelaskan bagaimana untuk mendapatkan dari B ke A, bahkan jika pemecahan B langsung akan lebih mudah daripada memecahkan (old joke: ahli matematika dan insinyur adalah subyek dari psikologi eksperimen; pertama mereka dipersilakan masuk ke sebuah ruangan di mana ada yang kosong, ember, tempat sampah, dan keran. Tempat sampah terbakar. Masing-masing dari mereka terlebih dahulu mengisi ember dengan air dari kran, maka kesedihan itu pada tempat sampah dan memadamkan api. Kemudian insinyur ditampilkan ke ruangan lain, di mana ada lagi keran, tempat sampah pada api, dan ember, tapi kali ini ember yang sudah diisi dengan air; insinyur mengambil ember, bermuara pada tempat sampah dan menempatkan keluar api. Yang mathematican, kemudian, datang, melihat situasi, mengambil ember, dan mengosongkan di lantai, dan kemudian mengatakan "yang mengurangi sebelumnya memecahkan masalah.")
Di mana kita? Ah, ya. Harus menerjemahkan semua orang informal manipulasi pekerjaan yang sangat baik dan memperlakukan $dx$ dan $dy$ sebagai objek di dalam dan dari diri mereka sendiri, menjadi pembenaran formal yang don't memperlakukan mereka seperti itu adalah rasa sakit yang nyata. Hal itu bisa dilakukan, tapi itu's rasa sakit yang nyata. Sebaliknya, kami ingin datang dengan cara membenarkan semua manipulasi yang akan selalu berlaku. Salah satu cara untuk melakukannya adalah dengan benar-benar memberikan mereka makna dalam hal gagasan baru dari derivatif. Dan itu adalah apa yang dilakukan.
Pada dasarnya, kami ingin "diferensial" dari $y$ akan kecil sekali perubahan di $y$; perubahan ini akan erat didekati untuk perubahan sepanjang garis singgung $y$; tangen memiliki kemiringan $y'(a)$. Tapi karena kita don't memiliki infinitesimals, kita harus mengatakan berapa banyak kami've berubah argumen. Jadi kita mendefinisikan "diferensial dalam $y$ di $a$ ketika $x$ perubahan dengan $\Delta x$", $d(y,\Delta x)(a)$, karena $d(y,\Delta x)(a) = y'(a)\Delta x$. Ini adalah persis perubahan sepanjang tangen, daripada bersama grafik fungsi. Jika anda mengambil limit dari $d(y,\Delta x)$ lebih dari $\Delta x$ serta $\Delta x\0$, anda hanya mendapatkan $y'$. Tapi kita cenderung untuk berpikir dari batas $\Delta x\0$ sebagai $dx$, sehingga penyalahgunaan notasi mengarah ke "$dy = \frac{dy}{dx}\,dx$"; ini adalah sugestif, tapi tidak sepenuhnya benar secara harfiah; sebaliknya, seseorang kemudian dapat menunjukkan bahwa argumen yang memperlakukan perbedaan sebagai fungsi yang cenderung untuk memberikan jawaban yang benar di bawah ringan asumsi. Perhatikan bahwa di bawah definisi ini, anda mendapatkan $d(x,\Delta x) = 1\Delta x$, yang mengarah ke $dx = dx$.
Juga, pemberitahuan yang menarik pembalikan: awalnya, perbedaan datang pertama, dan mereka digunakan untuk menentukan derivatif sebagai rasio. Hari ini, derivatif datang pertama (didefinisikan sebagai batas), dan perbedaan yang didefinisikan dalam hal dari derivatif.
Apa perbedaan praktis, meskipun? Anda'll mungkin akan kecewa mendengar "tidak banyak". Kecuali satu hal: ketika fungsi mewakili jumlah yang sebenarnya, bukan hanya formal manipulasi simbol-simbol, turunan dan diferensial mengukur hal yang berbeda. Turunan langkah-langkah a tingkat perubahan, sedangkan diferensial langkah-langkah perubahan itu sendiri.
Jadi unit pengukuran yang berbeda: misalnya, jika $y$ adalah jarak $x$ adalah waktu, maka $\frac{dy}{dx}$ diukur dalam jarak dari waktu ke waktu, yaitu kecepatan. Tapi diferensial $dy$ diukur dalam satuan jarak, karena itu merupakan perubahan jarak (dan perbedaan/perubahan antara dua jarak yang masih jauh, bukan kecepatan lagi).
Mengapa hal ini berguna untuk memiliki perbedaan? Karena kadang-kadang anda ingin tahu bagaimana sesuatu mengubah, dan kadang-kadang anda ingin tahu berapa banyak sesuatu mengubah. It's semua bagus dan baik untuk mengetahui tingkat inflasi (perubahan harga dari waktu ke waktu), tetapi anda mungkin kadang-kadang ingin tahu berapa banyak roti yang sekarang (bukan tingkat di mana harga berubah). Dan karena mampu memanipulasi derivatif seolah-olah mereka quotients dapat menjadi sangat berguna ketika berhadapan dengan integral, persamaan diferensial, dll, dan diferensial memberikan kita sebuah cara untuk memastikan bahwa manipulasi don't menyesatkan kita (karena mereka kadang-kadang melakukannya di hari-hari infinitesimals).
I'm tidak yakin jika itu jawaban anda, pertanyaan atau setidaknya memberikan indikasi di mana jawaban bohong. Saya berharap itu tidak. Ditambahkan. Saya melihat Qiaochu telah menunjukkan bahwa perbedaan menjadi lebih jelas setelah anda pergi ke dimensi yang lebih tinggi/kalkulus multivariabel, sehingga di atas mungkin semua akan sia-sia. Masih...
Menambahkan. Sebagai Qiaochu poin (dan yang saya sebutkan di lewat di tempat lain), ada juga cara-cara di mana seseorang dapat memberikan formal definisi dan arti untuk infinitesimals, dalam hal ini kita bisa menentukan perbedaan sebagai "kecil sekali perubahan" atau "perubahan sepanjang perbedaan yang sangat kecil"; dan kemudian menggunakannya untuk menentukan derivatif sebagai integral seperti Leibnitz lakukan. Standar contoh dari mampu untuk melakukan ini adalah Robinson's non-standar analisis Atau jika ada yang bersedia untuk melupakan melihat semua jenis dan fungsi dibatasi hanya pada beberapa tipe dari fungsi, maka anda juga dapat memberikan infinitesimals, diferensial, dan turunan zat/makna yang jauh lebih dekat ke aslinya konsepsi.
Perbedaan antara dua konsep ini tidak benar-benar menjelaskan sampai anda pindah ke dimensi yang lebih tinggi dan mulai melakukan kalkulus multivariabel. Derivatif menjadi Jacobians, yang adalah matrik memberikan perkiraan linear untuk kelancaran fungsi di suatu titik, sedangkan perbedaan menjadi bentuk diferensial, yang adalah hal-hal yang anda mengintegrasikan lebih dari tinggi dimensi daerah. (Ini adalah mengapa kita repot-repot dengan perbedaan.)
Dalam satu dimensi sulit untuk mengetahui perbedaan antara dua konsep ini karena Jacobian (turunan) $f'(x)$ terlihat banyak sekali seperti diferensial bentuk $f'(x) \, dx$. Tetapi dalam dimensi yang lebih tinggi perbedaan menjadi lebih jelas: hubungan antara Jacobian dan bentuk diferensial yang diberikan oleh multivariat perubahan dari variabel formula.
Edit: harus benar-benar tepat, masalahnya adalah bahwa dalam satu dimensi hanya ada satu ruang diferensial bentuk dan tindakan dari Jacobian pada itu doesn't terlihat istimewa sama sekali. Di $n$ dimensi ada $n$ ruang bentuk diferensial, dan Jacobian tindakan differently pada masing-masing dari mereka. Khususnya, pada level tertinggi-dimensi bentuk, bertindak dengan determinan, yang mana perubahan dari variabel formula berasal dari.
Bukan untuk dasar kalkulus. Jawaban singkatnya adalah bahwa turunan adalah hasil dari penerapan unsur tangen space atau ruang vektor ke suatu fungsi bernilai real. Sedangkan diferential adalah hasil dari sebuah peta antara manifold atau diferential bentuk. Dalam kasus khusus dimana M,N adalah Euclidian m ruang dan R orang-orang yang sebagian besar sama kecuali notasi.
1000-kata-kata' jawabannya adalah tidak diperlukan untuk menjelaskan hal ini (sebagai jawaban yang lain).
Melihat jawaban ini adalah Quora: Apa perbedaan antara turunan dan diferensial?.
Dalam kata-kata sederhana, laju perubahan dari fungsi ini disebut sebagai derivatif dan diferensial aktual adalah perubahan fungsi.
Kita juga dapat menentukan turunan dalam hal perbedaan sebagai rasio dari perbedaan fungsi dengan diferensial dari variabel.
turunan adalah perubahan dalam fungsi ($\frac{dy}{dx}$); a diferensial adalah perubahan dalam variabel$ (dx)$.
fungsi adalah suatu hubungan antara dua variabel, jadi turunan selalu rasio perbedaan.
Saya pikir ini adalah penjelasan terbaik sejauh ini.
Jawaban-jawaban ini belum't diformalkan benda $dx$, jadi saya'll memberikan saya sendiri jawaban yang benar. Ini akan menjadi tingkat yang lebih tinggi dan membutuhkan beberapa pengertian aljabar linear, di grup tindakan, dan kalkulus di lebih dari satu variabel. Ada's beberapa objek yang kita butuhkan untuk membuat jelas: dasar vektor $\frac{\parsial}{\parsial x}$, yang proyeksi peta $x^i$, dan operator d.
Setup untuk cerita kita akan berada di ruang affine $\mathbb{A}^n$ yang didefinisikan sebagai $\mathbb{R}^n$ dengan hanya transitif kelompok tindakan pada dirinya sendiri dengan terjemahan. Kita mengatakan bahwa $\mathbb{A}^n$ didefinisikan lebih dari $\mathbb{R}^n$ dan berpikir dari unsur-unsur di bekas sebagai poin dan unsur-unsur dalam kedua sebagai vektor. Hasilnya dari kata-kata "hanya transitif" adalah bahwa mengurangkan dua poin selalu memberikan sebuah vektor yang unik. Jika kata-kata ini asing, merasa bebas untuk berpikir dari $\mathbb{A}^n$ serta $\mathbb{R}^n$ + terjemahan. Kita mendefinisikan transformasi affine subspace $A\subset \mathbb{A}^n$ untuk subset dengan hanya transitif kelompok aksi dari subruang linear $V\subset \mathbb{R}^n$. Kita sebut $V$ yang tangen ruang $A$. Perhatikan bahwa $\mathbb{R}^n$ datang dengan argumen ini dilengkapi dengan satu set dasar vektor ${e_i}$ dengan $e_i=(0,...,1,...0)$ dimana 1 adalah $i$th posisi. Kami mengubah nama $\frac{\parsial}{\parsial x^i}:=e_i$. Kami juga memiliki standar proyeksi peta $x^i:\mathbb{R}^n\ke \mathbb{R}$ dengan mengingat hanya $i$th koordinat. Kita mendefinisikan $dx^i\in (\mathbb{R}^n)^ $ menjadi dual untuk vektor $\frac{\parsial}{\parsial x^i}$, sehingga ${dx^i}$ bentuk dasar untuk $(\mathbb{R}^n)^$. Sejak kami membangun $\mathbb{A}^n$ di atas $\mathbb{R}^n$, kita juga mendapatkan kanonik dasar dan proyeksi peta pada $\mathbb{A}^n$.
Misalnya, memperbaiki $\mathbb{A}^2$ dan biarkan $\frac{\parsial}{\parsial x}$ dan $\frac{\parsial}{\parsial y}$ menunjukkan dasar vektor untuk mendasari persoalan ruang $\mathbb{R}^2$. Grafik dari persamaan $y=3$ adalah affine subspace dari $\mathbb{A}^2$ dengan persoalan ruang rentang $\frac{\parsial}{\parsial x}\in \mathbb{R}^2$. Contoh lain akan menjadi grafik dari persamaan $y=x$ adalah affine subspace dengan persoalan ruang rentang $\frac{\parsial}{\parsial x}+\frac{\parsial}{\parsial y}$.
Pada titik ini dalam cerita kita kita memerlukan bahwa $\mathbb{R}^n$ memiliki norma dilambangkan $|\cdot|$ yang menginduksi jarak pada fungsi $\mathbb{A}^n$ melalui pengurangan. Mari $U\subset \mathbb{A}^n$ menjadi terbuka set, dan $p\dalam U$ a titik. Kita katakan $f:U\to \mathbb{A}^m$ adalah terdiferensiasi at $p$ jika ada sebuah fungsi linier yang kita menunjukkan $df_p:\mathbb{R}^n\ke \mathbb{R}^m$ yang memenuhi berikut ketidaksamaan: Untuk setiap $\epsilon>0$, terdapat $\delta$ yang $|\xi|<\delta$, maka $$|f(p+\xi)-f(p)-df_p(\xi)|<\epsilon |\xi|$$
Kita katakan $f$ adalah differentiable di $U$ jika itu's differentiable pada setiap $p\U$. Satu dapat menghubungi $df_p$ yang derivatif at $p$ di multivariabel kelas. Memperbaiki kodomain $\mathbb{A}^1$. Kami don't menurunkan umum dengan membatasi kodomain untuk satu dimensi karena setiap fungsi $f:\mathbb{A}^n\ke \mathbb{A}^m$ dapat dinyatakan sebagai koordinat fungsi $f=(f^1,...,f^n)$ dengan menyusun dengan proyeksi peta $x^i$. Biarkan saya menunjukkan Diff($U$,$\mathbb{A}^1$) untuk menjadi set differentiable fungsi di antara keduanya, dan Peta($U$,$\mathbb{A}^1$) himpunan semua fungsi di antara keduanya. Dua bentuk vektor struktur ruang berdasarkan fungsi penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam cara yang biasa. Kita mendefinisikan operator antara dua vektor ruang
$$\mathfrak{d}:\text{Ber}(U,\mathbb{A}^1)\ke \text{Peta}(U,\mathbb{A}^1)$$ Kita memerlukan $\mathfrak{d}$ menjadi linear dan taatilah Leibniz aturan, yaitu diberikan $f,g\di \text{Ber}(U,\mathbb{A}^1)$ $$\mathfrak{d}(fg)=\mathfrak{d}f \cdot g+ f\cdot \mathfrak{d}f$$
Kita sebut $\mathfrak{d}$ a derivasi jika memenuhi kondisi di atas, dan kita melihat bahwa diferensial operator $d$ adalah kasus khusus ini. Jadi ternyata bahwa mengambil $U=\mathbb{A}^n$ dan $f=x^i$ proyeksi peta, $dx^i$ yang kita didefinisikan sebagai dual dasar untuk $\frac{d}{dx^i}$ adalah benar-benar diferensial dari $x^i$ (I'll meninggalkan hal ini kepada siapa pun membaca sejauh ini untuk menunjukkan). Ada's banyak lagi yang bisa dikatakan dan skim atas. Jika anda're tertarik, semua informasi ini dan lebih banyak berasal dari di sini.