Există un consens în comunitatea matematică sau o autoritate acceptată pentru a determina dacă zero ar trebui clasificat ca număr natural?
Se pare că, în trecut, $0$ era considerat ca făcând parte din setul numerelor naturale, dar acum se pare că este mai frecvent să vedem definiții care spun că numerele naturale sunt tocmai numerele întregi pozitive.
Răspuns simplu: uneori da, alteori nu, de obicei se precizează (sau este implicită prin notație). Din articolul de pe Wikipedia:
În matematică, există două convenții pentru setul de numere naturale numere naturale: este fie setul de numere întregi pozitive ${1, 2, 3, \dots}$$. conform convenției tradiționale definiție; sau setul de numere naturale nenulegative. numere întregi ${0, 1, 2,\dots}$, în conformitate cu o definiție definitivă. definiție apărută pentru prima dată în secolul al XIX-lea.
Acestea fiind spuse, de cele mai multe ori am văzut că numerele naturale reprezintă doar 'numere de numărat' (adică excluzând zero). Aceasta a fost definiția istorică tradițională și are mai mult sens pentru mine. Zero este în multe privințe 'odd one out'; - într-adevăr, din punct de vedere istoric, nu a fost descoperit (descris?) decât la ceva timp după numerele naturale.
Nu există o "regulă oficială", depinde de ceea ce doriți să faceți cu numerele naturale. Inițial s-a pornit de la $1$ deoarece $0$ nu a primit statutul de număr.
În zilele noastre, dacă vedeți $\mathbb{N}^+$ puteți fi siguri că este vorba de numere de la $1$ în sus; $\mathbb{N}$ este de obicei pentru numere de la $0$ în sus.
[EDIT: definițiile originale ale axiomelor lui Peano, așa cum se găsesc în Arithmetices principia: nova methodo, pot fi găsite la https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog : uitați-vă la ea. ]
Cred că definițiile moderne includ zero ca număr natural. Dar uneori, în special în cadrul cursurilor de analiză, ar putea fi mai convenabil să fie exclus.
Avantajele de a considera că $0$ nu este un număr natural:
în general, $0$ nu este deloc natural. Este special în foarte multe privințe;
oamenii încep în mod natural să numere de la $1$;
secvența armonică $1/n$ este definită pentru orice număr natural n;
cel de-al $1$lea număr este $1$;
în stabilirea limitelor, $0$ joacă un rol simetric față de $\infty$, iar acesta din urmă nu este un număr natural.
Avantajele considerării lui $0$ ca număr natural:
punctul de plecare pentru teoria seturilor este setul gol, care poate fi folosit pentru a reprezenta $0$ în construcția numerelor naturale; numărul $n$ poate fi identificat ca fiind ansamblul primelor $n$ numere naturale;
calculatoarele încep să numere cu $0$;
resturile în împărțirea numerelor întregi cu un $n$ sunt $n$ numere diferite începând de la $0$ până la $n-1$;
este mai ușor să excludem un element definit dacă avem nevoie de numere naturale fără zero; în schimb, este complicat să definim un nou element dacă nu-l avem deja;
numerele întregi, reale și complexe includ zero, care pare mult mai important decât $1$ în aceste seturi (aceste seturi sunt simetrice față de $0$);
există o noțiune pentru a defini seturi fără $0$ (de exemplu $\mathbb R0$ sau $\mathbb R*$), sau numere pozitive ($\mathbb R_+$), dar nu există o noțiune clară pentru a defini un set plus $0$;
gradul unui polinom poate fi zero, la fel ca și ordinul unei derivate;
am văzut copii care măsurau lucruri cu rigla aliniind semnul $1$ în loc de $0$. Este dificil să le explici de ce trebuie să începi de la $0$ când ei sunt obișnuiți să înceapă numărătoarea de la $1$. Semnele din regulă identifică fârșitul centimetrilor, nu începutul, deoarece primul centimetru merge de la 0 la 1.
Un exemplu în care numărarea de la $1$ duce la denumiri oarecum înșelătoare este în denumirile intervalurilor dintre notele muzicale: intervalul dintre Do și Fa se numește cvarte, pentru că sunt patru note: Do, Re, Mi, Fa. Cu toate acestea, distanța dintre Do și Fa este de fapt de trei tonuri. Acest lucru are consecința urâtă că o cvintă peste o cvartă (4+3) este o octavă (7) și nu o nouăzecime! Pe de altă parte, dacă puneți primul deget pe nota Do a unui pian, al patrulea deget ajunge la nota Fa.
Aș spune că în limbajul natural corespondența dintre numerele cardinale și numerele ordinale este decalată cu unu, distingându-se astfel două seturi de numere naturale, unul care pornește de la 0 și altul de la prima. Ziua de 1 ianuarie a fost ziua cu numărul $0$ a noului an. Iar zeroth nu are nici un sens în limbajul natural...
Există cele două definiții, așa cum spuneți dumneavoastră. Cu toate acestea, setul numerelor strict pozitive fiind numerele naturale este de fapt definiția mai veche. Includerea lui $0$ în numerele naturale este o definiție pentru acestea care a apărut pentru prima dată în secolul al XIX-lea.
Axiomele lui Peano pentru numerele naturale consideră totuși că $0$ este un număr, astfel încât, dacă se lucrează cu aceste axiome (și o mare parte din teoria numerelor naturale o face), atunci se consideră că $0$ este un număr natural.
Aceste note de curs de la un curs de combinatorică ținut timp de mulți ani de N.G. de Bruijn sugerează o alternativă utilă:
Din cauza confuziei provocate de N. Bourbaki cu privire la numerele naturale, ne simțim obligați să definim: $$\begin{align}\Bbb N_0 & = {0,1,2,\ldots}\quadru \text{ și } \ \Bbb N_1 & = {1,2,3,\ldots}. \end{align}$$$
(Pagina 4)
Așa cum au spus și alții, nu există un consens în această privință. Cu toate acestea, dacă aveți nevoie de o notație lipsită de ambiguitate, puteți folosi: $\mathbb{Z}{\geq 0}, \mathbb{Z}{\geq 1}.$ Aceasta este o opțiune bună dacă scrieți ceva scurt și simplu, de exemplu, pentru postările de pe acest site. În ceva mai lung, cum ar fi un articol sau un doctorat, este posibil să doriți să petreceți o propoziție sau două pentru a stabili o convenție care să fie mai atractivă din punct de vedere vizual. Personal, eu folosesc: $$\mathbb{N} = {0,1,2,3,\cdots}, \qquad \mathbb{W} = {1,2,3,\cdots}.$$ Motivația din spatele $\mathbb{W}$ este că elementele sale pot fi denumite numere "întregi" (deși, așa cum au spus și alții, termenul "număr întreg" este foarte ambiguu dacă și până când nu îi spui cititorului precis ce vrei să spui).
Oricum, ceea ce am vrut să spun cu adevărat este că, chiar dacă singurul nostru interes este teoria numerelor, totuși avem nevoie de ambele sisteme de numere, deoarece factorizarea primilor stabilește un izomorfism între monoidul $\mathbb{W}$ (cu înmulțire) și monoidul tuturor funcțiilor cu suport finit $\mathrm{Prime} \rightarrow \mathbb{N}$ (cu adunare punctuală).
Îmi amintesc că toate cursurile mele de la universitate foloseau doar numere întregi pozitive (fără $0$) pentru numerele naturale. Este posibil să se fi ajuns la un acord între profesorii de matematică, dar în timpul a cel puțin două cursuri am generat setul de numere naturale în moduri care nu ar fi avut sens dacă ar fi fost inclus $0$.
Unul a implicat cardinalitatea seturilor de seturi, iar celălalt a definit numerele naturale în funcție de numărul $1$ și doar de adunare ($0$ și numerele întregi negative intră în scenă mai târziu, când se definește un invers al adunării).
Prin urmare, atunci când predau diferența dintre numere întregi și numere naturale, definesc întotdeauna $0$ ca fiind un număr întreg care nu este un număr natural.