Justo antes de ser sacrificado a Voldemort en el Bosque Prohibido, Harry dejó caer la Piedra de la Resurrección.
"Pensé que vendría", dijo Voldemort con su voz alta y clara, sus ojos
en las llamas que saltaban. "Esperaba que viniera".
Nadie habló. Parecían tan asustados como Harry, cuyo corazón se lanzaba ahora
se lanzaba contra sus costillas como si estuviera decidido a escapar del cuerpo que
que estaba a punto de arrojar a un lado. Le sudaban las manos mientras se quitaba la capa de invisibilidad
y se la metió debajo de la túnica, con su varita. No quería
tentar la lucha.
"Parece que me he equivocado", dijo Voldemort.
"No lo estabas".
Harry lo dijo tan alto como pudo, con toda la fuerza que pudo reunir. Él
no quería parecer asustado. La piedra de la resurrección se deslizó entre sus dedos entumecidos.
y por el rabillo del ojo vio a sus padres, a Sirius y a Lupin desaparecer
Lupin se desvanecían mientras él avanzaba hacia la luz del fuego. En ese momento sintió
que nadie importaba más que Voldemort. Sólo estaban ellos dos.
Harry Potter y las Reliquias de la Muerte, capítulo 34. El bosque de nuevo, página 592 de 638
¿Por qué hizo eso?
¿Y por qué no volvió a buscarlo después?
Dumbledore tenía muy claro que el miedo de Voldemort a la muerte y su intento de dominarla eran la raíz principal de su maldad. Harry no tenía ninguna ambición de convertirse en el amo de la muerte. El punto quedó claro en el libro cuando Harry eligió continuar la búsqueda de Horrocruxes (¿Horcruxi?), en lugar de buscar las Reliquias. En la película se intenta hacer lo mismo cuando Harry rompe la Varita de Saúco. En cualquier caso, la Piedra es probablemente la más insidiosa de las tres Reliquias, ya que sólo proporciona a su usuario una sombra de lo que realmente desea.
Básicamente, porque la piedra de la resurrección había servido para su único propósito práctico: camuflarse/defenderse de los dementores en el Bosque Prohibido de camino al encuentro con Voldemort.
Una vez que todo se vino abajo, ya no necesitó la piedra y no quiso/necesitó usarla como Hallow (véase la respuesta de TGnat para más detalles).
Harry necesitaba que el horrocrux que existía en su cicatriz fuera destruido. La piedra de la resurrección podría haberlo impedido. Siempre me pareció que Harry creía que tendría que morir para destruir el horrocrux, y se sorprendió bastante al estar vivo pero sentir el cambio en su cicatriz.
Así que, efectivamente, Harry pretendía sacrificarse para que Voldemort pudiera ser destruido.
Por no mencionar el hecho de que al desprenderse de él negó a Voldemort la posibilidad de obtener el objeto de Harry.