O que é a transformação de Fourier? O que é que ela faz? Porque é útil (em matemática, em engenharia, física, etc.)?
Esta pergunta baseia-se na pergunta de Kevin Lin, que não'não se enquadrava bem na Mathoverflow. As respostas a qualquer nível de sofisticação são bem-vindas._
I'dará uma resposta de engenharia.
Se tiver uma série temporal que pensa ser o resultado de uma colecção aditiva de funções periódicas, a transformação de Fourier ajudá-lo-á a determinar quais são as frequências dominantes.
É assim que funcionam os afinadores de guitarra. A actuação e FFT nos dados sonoros e escolher a frequência com maior potência (quadrados das partes reais e imaginárias) e considerar que o "note." Isto é chamado a frequência fundamental.
Existem muitas outras utilizações, pelo que poderá querer adicionar uma grande lista como tag.
Poder-se-ia pensar numa série Fourier expandindo uma função como uma soma de pecados e cossines análoga à forma como uma série Taylor expande uma função como uma soma de poderes.
Ou pode pensar na série Fourier como uma mudança de variáveis. Uma habilidade fundamental em engenharia e física é escolher o sistema de coordenadas que torna o seu problema mais simples. Uma vez que as derivadas de sines e cosines são mais sines e cosines, as séries Fourier são a "sistema de coordenadas" para muitos problemas envolvendo derivadas.
Uma resposta mais complicada (no entanto, ela's vai ser imprecisa, porque eu tenho't tocado nisto em 15 anos...) é a seguinte.
Num espaço de 3 dimensões (por exemplo) pode representar um vector v pelas suas coordenadas de ponto final, x, y, z, de uma forma muito simples. Escolhe três vectores que são de comprimento unitário e ortogonais entre si (uma base), digamos i, j e k, e calcule as coordenadas como tal:
x = v ∙ i
y = v ∙ j
z = v ∙ k
No espaço multidimensional, as equações ainda se mantêm. Num espaço discreto e infinito, as coordenadas e os vectores base tornam-se uma sequência. O produto do ponto torna-se uma soma infinita.
Num espaço infinito contínuo (como o espaço das boas funções) as coordenadas e as bases tornam-se funções e o produto ponto um integral infinito.
Agora, a transformação de Fourier é exactamente este tipo de operação (baseada num conjunto de funções de base que são basicamente um conjunto de sinos e cossenos). Por outras palavras, é uma representação diferente da mesma função em relação a um conjunto particular de funções de base.
Como consequência, por exemplo, funções do tempo, representadas contra funções do tempo e do espaço (por outras palavras integradas ao longo do tempo multiplicadas por funções do espaço e do tempo), tornam-se funções do espaço, e assim por diante.
Espero que ajude!