Anak saya di kelas 2. Nya matematika guru kelas kuis, dan salah satu pertanyaan ini:
Jika sebuah segitiga mempunyai 3 sisi, dan sebuah persegi panjang memiliki 4 sisi, berapa banyak sisi tidak lingkaran memiliki?
Reaksi pertama saya adalah, "0" atau "tidak terdefinisi". Tapi anak saya menulis "$\infty$" yang saya pikir adalah jawaban yang masuk akal. Namun, hal itu ditandai salah dengan komentar, "jawabannya adalah 1".
Ada yang diterima jawaban yang benar dalam geometri?
edit: aku berlari ke guru ini baru-baru ini dan disebutkan masalah kuis ini. Dia mengatakan dia pikir anak saya telah menulis "8." Dia't tahu bahwa menyamping "8" berarti infinity.
Jawabannya tergantung pada definisi dari kata "sisi." saya pikir ini adalah pertanyaan yang mengerikan (edit: ke memakai quiz) dan adalah jenis hal yang akan membuat anak-anak membenci matematika. "Sisi" adalah istilah yang benar-benar harus disediakan untuk poligon.
Saya kelas tiga anak pulang beberapa minggu yang lalu dengan sama pertanyaan pekerjaan rumah:
Berapa banyak wajah, tepi dan simpul lakukan hal berikut miliki?
- kubus silinder
- kerucut
- bola
Seperti yang paling hebat matematika, reaksi pertama saya adalah bahwa untuk kedua objek pertanyaan akan kebutuhan yang tepat definisi dari face, edge dan vertex, dan isn't benar-benar masuk akal tanpa definisi tersebut.
Tapi setelah berbicara tentang masalah dengan banyak orang, melakukan semacam sosial/matematika eksperimen, saya mengamati sesuatu yang menarik. Apa yang saya amati adalah bahwa tidak ada satupun dari mereka non-matematika-teman dan kenalan yang telah masalah dengan menggunakan intuitif geometris konsep berikut, dan mereka semua sepakat sepenuhnya bahwa jawaban harus
Memang, ini juga jawaban yang diinginkan oleh saya anak's guru (yang benar-benar luar biasa guru). Sementara itu, semua saya matematika rekan-rekan mendaham tentang bagaimana kita dapat't benar-benar jawabannya, dan apa "wajah" berarti dalam konteks ini pula, dan sebagainya; sebagian besar dari mereka ingin pada akhirnya untuk mengatakan bahwa bola telah jauh lebih banyak wajah-wajah dan jauh lebih banyak simpul dan sebagainya. Untuk pekerjaan rumah, anak saya menulis penjelasan memberikan jawaban di atas, tetapi juga menjelaskan bahwa ada rasa di mana beberapa jawaban yang tak terbatas, tergantung pada apa yang dimaksudkan.
Pada partai pekan terakhir ini penuh matematikawan dan filsuf, itu adalah permainan yang menyenangkan untuk pertama meminta seorang ahli matematika pertanyaan, yang selalu membuat berbagai keberatan dan penolakan dan dan mengatakan itu tidak masuk akal dan sebagainya, dan kemudian non-matematika pasangan akan terus terang memberikan benar-benar jelas account. Ada banyak perselisihan tentang hal itu malam itu.
Jadi sepertinya, jelas, bahwa kami yang luas matematika pelatihan mengganggu kemampuan kita untuk memahami dengan mudah apa yang anak-anak dan non-matematika menemukan untuk menjadi jelas dan berbeda geometris konsep.
(Sebenarnya saya melihat, bagaimanapun, adalah bahwa hal itu adalah pelatihan kami yang telah mengajarkan kita bahwa konsep-konsep yang tidak begitu jelas dan berbeda, seperti yang disaksikan oleh berbagai batas dan counterexample kasus dalam sejarah perjuangan untuk menemukan definisi untuk $V-E+F$ dan lain theorems.)
Aku tahu aku'm terlambat ke pesta, tapi aku'm terkejut noone telah disebutkan ini. Di busung teori, ada gagasan yang disebut titik ekstrim yang menggeneralisasikan gagasan dari vertex (atau sudut) poligon. Untuk definisi ini setiap titik pada lingkaran adalah titik ekstrim sehingga masuk akal untuk mengatakan itu telah jauh (uncountably!) banyak sudut. Meskipun gagasan dari sisi tidak baiknya. Jika definisi adalah segmen garis bergabung dengan dua simpul maka jawabannya akan menjadi 0 untuk lingkaran.
Ini adalah referensi untuk Douglas Batu' menjawab, tapi gambar bisa't akan tertanam di komentar. Batas sisi dapat memiliki sudut lurus, seperti ini octogons konvergen ke alun-alun.
Garis lurus bisa menjadi nomor apapun dari sisi lurus dengan sudut antara mereka.
Bagi mereka yang berpikir bahwa jawabannya adalah $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n = \infty$, melalui:
I'd ingin menyebutkan: it's tidak begitu mudah. Jika mengambil batas-batas dalam hal ini cara yang sah kemudian kita dapat menunjukkan bahwa misalnya persegi memiliki jumlah tak terbatas dari sisi.
Mempertimbangkan tangga dengan $n$ langkah-langkah, dan setiap langkah memiliki ketinggian $1/n$ dan lebar $1/n$. Ini terdiri dari $2n$ segmen garis. Sebagai $n \rightarrow \infty$, tangga menyatu ke satu segmen garis (yaitu batas setuju titik-ke-titik dengan satu segmen garis).
Jika kita lem empat dari tangga bersama-sama, dan mengambil batas mereka, kita memperoleh persegi, yang akan memiliki $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 4 \kali 2n = \infty$ sisi.
Kedua jawaban 1 dan $\infty$ yang intuitif yang benar.
Untuk menjawab "$\infty$": Bayangkan bahwa anda mulai dengan lingkaran. Sekarang anda dapat mencoba mendekati lingkaran yang berpusat di (di tengah-tengah lingkaran) segi enam. Langkah berikutnya adalah untuk melipatgandakan jumlah sudut-sudut yang biasa berduabelas dan sebagainya. Apa yang anda lihat geometris adalah bahwa $n$-th biasa poligon dengan konstruksi ini akan mendekati lingkaran yang lebih baik dari $(n-1)$-th satu. Anda dapat melihat sekarang di jumlah sisi-sisi yang selama ini pendekatan dengan dua kali lipat jumlah sudut: $6\dengan12\to24\to48\to96...\sampai6\cdot2^n=3\cdot2^{n+1}$. Mengambil $n\to\infty$ anda melihat bahwa anda mendapatkan $\infty$ sisi. (tapi panjang mereka pergi ke nol...)
Untuk menjawab "1": Di sisi lain hal ini tidak intuitif untuk menyebutnya "sisi" sementara panjangnya$\to0$, yang merupakan negara di lingkaran (ingat definisi lingkaran sebagai himpunan titik-titik). Tapi apa yang anda dapatkan adalah garis melengkung (lingkaran itu sendiri), yang satu bisa menafsirkan sebagai "sisi" karena itu memisahkan wilayah batin dari lingkungannya. Dan ini adalah one baris. Ini bisa menjadi alasan untuk menjawab "lingkaran memiliki satu sisi".
Namun: "$\infty$ atau 1?" adalah pertanyaan yang menyebabkan dari pertanyaan tentang definisi dari kata "sisi". (dan seperti yang dapat dilihat "sisi" hanya membuat benar-benar masuk akal untuk poligon)