Apa artinya untuk mengatakan bahwa matematika adalah diciptakan dan bagaimana ini akan berbeda dari mengatakan matematika itu ditemukan?
Ini bahkan filosofis yang serius pertanyaan atau hanya berarti/tautologis linguistik ambiguitas?
"Intuitionists" percaya bahwa matematika adalah hanya ciptaan pikiran manusia. Dalam arti bahwa anda dapat berpendapat bahwa matematika adalah diciptakan oleh manusia. Matematika objek yang hanya ada dalam pikiran kita dan doesn't seperti memiliki eksistensi.
"Platonists", di sisi lain, berpendapat bahwa matematika objek yang ada dan kita hanya bisa "seperti" mereka melalui pikiran kita. Oleh karena itu di beberapa arti Platonists akan memilih bahwa matematika itu ditemukan.
Sudut pandang pribadi saya adalah bahwa matematika jadian aksioma dan aturan operasi, sisanya menemukan. Matematika jadian notasi-notasi untuk menuliskan konsep-konsep yang menemukan dalam alam semesta dari aksioma.
Konsep angka-angka yang ada, tetapi kita menciptakan notasi yang glyph '1' dan suara /wʌn/ mengacu pada konsep tunggal objek yang kita temukan. Kami menemukan aturan perkalian matriks, tetapi konsekuensi dari cara kita melakukan perkalian matriks ditemukan.
Sebagian besar waktu, kami sengaja menciptakan satu set aksioma yang akan menuntun kita untuk menemukan sebuah himpunan fakta-fakta yang kita inginkan untuk menjadi kenyataan. Hal ini tentunya berlaku dengan nomor imajiner, kita menemukan mereka sehingga kita dapat menemukan solusi untuk masalah-masalah yang sebelumnya tidak dapat atau sulit untuk memecahkan.
Ada hal-hal yang ditemukan, dan hal-hal yang diciptakan. Batas diletakkan di tempat yang berbeda oleh orang yang berbeda. Saya menempatkan diri pada daftar dan saya percaya bahwa posisi saya adalah obyektif dibenarkan, dan lain-lain tidak.
Oleh probablistic pertimbangan, saya yakin bahwa tidak ada dalam sejarah Bumi yang pernah dilakukan berikut perkalian:
9306781264114085423 x 39204667242145673 = ? Kemudian jika saya menghitung itu, aku menciptakan itu's nilai, atau menemukan nilai? Arti dari kata "menciptakan" dan "cari" yang sedikit tidak jelas, tapi biasanya satu kata apapun ketika ada sifat-sifat tertentu: apakah nilai memiliki kualitas yang unik yang kita tahu di depan waktu (seperti yang aneh)? Apakah mungkin untuk mendapatkan dua jawaban yang berbeda dan mempertimbangkan baik benar? dll. Dalam hal ini, semua orang akan setuju nilai ditemukan, karena kita benar-benar dapat melakukan perhitungan--- dan tidak satu (waras) orang berpikir bahwa jawabannya adalah terdiri omong kosong, atau bahwa itu tidak't menjadi jumlah kotak di dalam persegi panjang dengan sisi yang sesuai, dll. Ada banyak masalah yang belum terpecahkan dalam hal ini terbatas kategori, sehingga isn't sepele:
- Catur tidak putih, tidak hitam, atau menggambar, di luar bermain?
- Apa yang terpanjang mungkin Piraha kalimat dengan tidak ada nama yang tepat?
- Apa yang lebih panjang terpendek bukti di ZF Perdana Nomor Teorema? Kira-kira?
- Apa adalah daftar 50 melintasi knot? Anda dapat pergi selamanya, seperti yang paling menarik masalah matematika yang menarik di finite domain juga.
Ditemukan: asymptotic perhitungan
Pertimbangkan sekarang sewenang-wenang program komputer, dan apakah itu naik atau tidak berhenti. Ini adalah masalah dari apa yang disebut "Pi-0-1 aritmatika kalimat" di urutan pertama logika, tapi aku lebih suka seluruhnya setara formulasi dalam hal menghentikan program komputer, seperti logika jargon ini kurang dapat diakses dari pemrograman jargon. Mengingat yang pasti program komputer P ditulis dalam C (atau beberapa lainnya Turing lengkap bahasa) sesuai dimodifikasi untuk memungkinkan sewenang-wenang memori yang besar. Apakah program ini kembali jawaban terbatas dalam waktu, atau berjalan selamanya? Ini termasuk sepotong besar dan kuat yang paling terkenal dugaan matematika, saya daftar beberapa:
- Riemann hipotesa (di cocok formulasi)
- Goldbach dugaan.
- Ganjil angka sempurna dugaan
- Persamaan Diophantine (seperti Fermat's teorema terakhir)
- konsistensi ZF (atau lain urutan pertama set axioms)
- Knesser-Poulson dugaan pada bidang-penataan Anda dapat percaya salah satu dari dua
- "Apakah P berhenti" adalah absolutely meaningful, sehingga seseorang dapat mengetahui bahwa itu adalah benar atau salah tanpa mengetahui mana.
- "Apakah P berhenti" hanya menjadi bermakna setelah penghentian P, atau bukti bahwa itu doesn't berhenti di sistem formal, sehingga hal ini berguna untuk memperkenalkan kategori "unknown" untuk pertanyaan ini, dan "tidak diketahui" kategori tidak mungkin akhirnya menjadi kosong, seperti halnya di finite masalah kasus. Di sini adalah di mana intuitionists berhenti. Nama yang terkenal di sini adalah
- L. E. J. Brouwer Yang intuitionistic logika dikembangkan untuk menangani kasus-kasus di mana ada pertanyaan-pertanyaan yang jawabannya tidak ditentukan benar atau salah, sehingga yang satu tidak bisa memutuskan hukum dikecualikan tengah. Posisi ini membuka kemungkinan bahwa beberapa program komputer yang don't berhenti terlalu sulit untuk membuktikan berhenti, dan tidak ada mekanisme untuk melakukannya. Sementara intuitionism ini berguna untuk situasi yang sempurna pengetahuan (seperti kita, selalu), ini bukan tempat di mana yang paling hebat matematika berhenti. Ada keyakinan bahwa pertanyaan-pertanyaan pada level ini benar atau palsu, kami hanya don't tahu di mana. Saya setuju dengan posisi ini, tapi aku don't pikir itu adalah hal yang sepele untuk berdebat terhadap intutionist perspektif.
Sebagian percaya ditemukan: Aritmatika hirarki
Ada pertanyaan-pertanyaan matematika yang tidak dapat frase sebagai non-menghentikan program komputer, setidaknya tidak tanpa modifikasi konsep "program". Ini termasuk
- Twin perdana dugaan
- Yang transcedence e+pi. Untuk memeriksa pertanyaan-pertanyaan ini, anda perlu untuk menjalankan melalui kasus-kasus, di mana pada setiap titik anda harus memeriksa di mana sebuah program komputer yang dapat menghentikan. Ini berarti anda harus tahu jauh lebih banyak program berhenti. Misalnya, untuk mengetahui ada jauh lebih banyak bilangan prima kembar, anda perlu untuk menunjukkan bahwa program mencari bilangan prima kembar mulai dari masing-masing menemukan pasangan akan berhenti di depan untuk menyenangkan pasangan. Untuk transendensi pertanyaan, anda harus menjalankan melalui semua polinomial, menghitung akar, dan menunjukkan bahwa pada akhirnya mereka berbeda dari e+pi. Pertanyaan-pertanyaan ini adalah pada tingkat berikutnya aritmatika hirarki. Mereka komputasi formulasi lagi lebih intuitif--- mereka sesuai dengan menghentikan masalah untuk komputer yang memiliki akses ke solusi dari biasa menghentikan masalah. Anda bisa naik aritmatika hirarki, dan kalimat-kalimat yang mengungkapkan dugaan pada aritmatika hirarki terbatas pada setiap tingkat adalah orang-orang dari Peano Arithmetic. Ada orang-orang yang percaya bahwa Peano Arithemtic adalah pondasi yang tepat, dan ini arithemtically orang-orang yang berpikiran akan berhenti pada akhir arithemtic hirarki. Saya kira orang bisa menempatkan Kronecker berikut:
- Leopold Kronecker: "Allah menciptakan alam nomor, semua yang lain adalah pekerjaan manusia." Untuk menganggap bahwa kalimat-kalimat pada aritmatika hirarki yang mutlak, tetapi tidak ada orang lain, lebih kemungkinan posisi. Jika anda termasuk aksioma induksi pada pernyataan-pernyataan ini, anda mendapatkan teori dari Peano Arithmetic, yang memiliki ordinal kompleksitas yang benar-benar dipahami sejak Gentzen, dan hal ini dijelaskan oleh ordinal epsilon-sia-sia. Epsilon-sia-sia adalah sangat konkret, tetapi saya telah melihat beberapa argumen yang mungkin tidak beralasan! Ini benar-benar konyol untuk siapa saja yang tahu epsilon-sia, dan ide yang mungkin menyerang generasi masa depan seperti yang sama-sama konyol seperti ide bahwa jumlah butiran pasir di lingkup ukuran Bumi's orbit adalah tak terbatas--- ide secara eksplisit membantah di "Pasir Penghisab" oleh Archimedes.
Sebagian percaya ditemukan: Hyperarithmetic hirarki
Yang hyperarithmetic hirarki sering diutarakan dalam hal urutan kedua aritmatika, tapi saya lebih memilih ke negara itu komputasi. Misalkan saya memberikan semua solusi untuk menghentikan masalah di semua tingkat aritmatika hirarki, dan anda menggabungkan mereka ke dalam satu yang tak terbatas CD-ROM yang berisi solusi untuk semua ini secara bersamaan. Daripada menghentikan masalah dengan CD-ROM (lengkap aritmatika-hirarki menghentikan oracle) mendefinisikan baru menghentikan masalah--- omega-th melompat dari 0 dalam teori rekursi jargon, atau hanya omega-oracle. Anda dapat iterate firman up urut daftar, dan menghasilkan lebih kompleks menghentikan masalah. Anda mungkin percaya ini berarti untuk setiap ordinals yang menghasilkan tape. Ada berbagai poin berhenti di sepanjang hyperarithmetic hirarki, yang biasanya diberi label dengan mereka kedua-order arithemtic versi (yang saya don't tahu bagaimana untuk menerjemahkan). Posisi ini tidak alami poin berhenti untuk siapa pun.
Gereja Kleene ordinal
Saya di sini. Segala sesuatu yang kurang dari ini, aku menerima, segala sesuatu yang di luar ini, saya mempertimbangkan secara objektif ditemukan. Alasannya adalah bahwa Gereja-Kleene ordinal adalah batas dari semua yang dihitung dapat dihitung ordinals. Ini adalah posisi komputasi dasar, dan itu pada dasarnya posisi Soviet sekolah. Orang-orang yang saya akan menempatkan di sini termasuk
- Yuri Manin
- Paul Cohen Dalam kasus Paul Cohen, saya tidak yakin. Yang ordinals di bawah Gereja Kleene semua orang bahwa kita pasti bisa mewakili pada komputer, dan bekerja dengan, dan lebih konsepsi tersangka.
Pertama terhitung ordinal
Jika anda membuat sebuah aksioma teori himpunan dengan daya set, anda dapat menentukan gabungan dari semua dihitung ordinals, dan ini adalah pertama terhitung ordinal. Beberapa orang berhenti di sini, menolak terhitung set, seperti himpunan bilangan real, sebagai penemuan. Ini adalah posisi yang sama dengan saya, yang diadakan oleh orang-orang pada pergantian abad ke-20, yang diterima dihitung infinity, tapi tidak terhitung tak terhingga. Orang-orang yang ada di sini termasuk banyak terkenal hebat matematika
- Thorvald Skolem Skolem's teorema adalah upaya untuk meyakinkan matematika bahwa matematika adalah dihitung. Saya harus menunjukkan bahwa Gereja Kleene ordinal tidak ditetapkan sampai tahun 1940-an, jadi ini adalah posisi paling dekat untuk komputasi yang tersedia di paruh awal abad ke-20.
Kontinum
Paling praktis berpikiran hebat matematika berhenti di sini. Mereka menjadi waspada terhadap konstruksi seperti himpunan semua fungsi yang nyata pada baris, karena ruang-ruang yang terlalu besar untuk intuisi nyaman untuk menangani. Tidak ada landasan formal sekolah yang berhenti di kontinum, itu adalah hanya sebuah tempat di mana orang berhenti menjadi nyaman dalam kemutlakan kebenaran matematika. Kontinum memiliki pertanyaan yang diketahui undecidable dengan metode yang persuasif bahwa itu adalah ketidakjelasan dalam mengatur konsep pada titik ini, tidak dalam sistem kebenaran.
Pertama Tidak Dapat Diakses Kardinal
Tempat ini adalah tempat yang paling Platonists berhenti. Segala sesuatu di bawah ini dijelaskan oleh ZFC. Saya pikir orang yang paling terkenal di sini adalah:
- Saharon Selah Saya menganggap ini adalah platonis alam semesta, karena ia mengatakannya secara eksplisit dalam sebuah intro-nya yang lebih terkenal di awal tulisan. Dia mungkin telah berubah pikiran sejak.
Tak terhingga banyak Kayudalam Kardinal
Ini adalah tempat di mana orang-orang yang suka projective determinacy berhenti. Ada kemungkinan bahwa determinacy pendukung percaya pada konsistensi determinacy, dan ini memberi mereka bukti konsistensi Kayudalam Kardinal (meskipun argumen mereka agak teologis terdengar tanpa tepat komputasi pembenaran dalam hal mustahil canggih dihitung dihitung ordinal yang berfungsi sebagai bukti untuk teori ini) Ini termasuk
- Hugh Kayudalam
Mungkin ditemukan: Peringkat ke-Peringkat axioms
Saya menyalin ini dari halaman Wikipedia, ini adalah yang terbesar yang besar kardinal yang hebat matematika telah dianggap untuk saat ini. Ini mungkin adalah tempat yang paling paksa berhenti, tapi mereka waspada terhadap kemungkinan kontradiksi. Aksioma ini adalah refleksi axioms, mereka membuat set-teori model self-simialar dalam cara yang rumit di tempat besar. Struktur model ini sangat kaya, dan aku tidak memiliki intuisi sama sekali, karena saya hampir tidak tahu definisi (saya hanya baca di Wiki).
Ditemukan: Kardinal Reinhard
Ini adalah batas dari hampir semua berlatih matematika, karena ini telah terbukti tidak konsisten, setidaknya menggunakan aksioma pilihan. Karena sebagian besar struktur dari teori ini dibuat sangat elegan dengan pilihan, dan anti-pilihan argumen yang biasanya tidak terkait dengan Godel-style besar-cardinal asumsi, orang-orang menganggap Reinhardt Kardinal yang tidak konsisten. Saya berasumsi bahwa hampir semua kerja yang hebat matematika mempertimbangkan Reinhardt Kardinal sebagai entitas imajiner, bahwa mereka penemuan, dan penemuan yang tidak konsisten pada saat itu.
Pasti diciptakan: Himpunan semua set
Tingkat ini adalah yang tertinggi dari semua, di tradisional memesan, dan ini adalah di mana orang-orang mulai pada akhir abad ke-19. Intuitif set
- Himpunan semua set
- Ordinal batas dari semua ordinals Ide-ide ini terbukti tidak konsisten oleh Penyanyi sederhana dengan menggunakan argumen (mempertimbangkan ordinal membatasi plus satu, atau kekuatan set set set). Paradoks yang dipopulerkan dan dipertajam oleh Russell, kemudian diselesaikan oleh Whitehead dan Russel, Hilbert, Godel, dan Zermelo, menggunakan pendekatan aksiomatik yang ditolak objek ini. Semua orang setuju hal ini diciptakan.
Ini hanya sebagian menjawab:
Sebagai seorang ahli matematika, saya telah meminta ini semacam pertanyaan dari waktu ke waktu. Seperti kebanyakan lainnya yang hebat matematika, saya cenderung semacam menghindari pertanyaan, karena itu's rumit. Biasanya, pertanyaan ini dimasukkan ke dalam bentuk, "Apakah anda seorang platonis?"
Referensi berikut ini adalah Plato's kekal bentuk bahwa kita mampu untuk mengenali, dan yang memungkinkan kita untuk mengenal dunia di sekitar kita (hal ini tidak jelas, afterall, bahwa kita masih harus mampu mengenali orang yang diamputasi sebagai manusia ketika kami pertama kali melihat dia, misalnya). Ketika dipaksa untuk melanjutkan, saya biasanya merespon "No."
Saya pikir masalah mendasar dengan Platonisme adalah summed di atas Brian Davies's kertas, tepat berjudul "Biarkan Platonisme Mati." saya juga menambahkan jika matematika 'penemuan' masih't belum ditemukan, apakah itu ada? Sebagai seorang Platonis akan mengatakan benar-benar. Sebuah intuitionist akan mengatakan bahwa itu tidak ada, atau itu hanya ada dalam arti bahwa beberapa saat ini atau masa depan sistem matematika, disusun dan dirumuskan vulgar oleh manusia, akan menyebabkan lebih banyak teorema - yaitu itu ada hanya sebagai perpanjangan dari apa yang telah kita buat.
Tapi pada akhirnya, saya don't berpikir bahwa perbedaan ini sangat penting selain dari teistik atau saraf implikasi. Sebagai seorang Platonis akan mengatakan bahwa ketika kita mengakui segitiga, misalnya, itu karena kita adalah mengenali Bentuk Segitiga, beberapa ideal, sempurna, transendental objek. Hal ini membuat banyak akal, karena Platonisme jelas memiliki akar Plato, yang baca banyak ke ilahi hubungan antara matematika dan dunia yang didukung oleh Pythagoras.
Sebagai catatan akhir, saya harus mengatakan bahwa banyak terkenal hebat matematika berbaring di kedua sisi pagar. Yang paling terkenal Platonis, saya percaya, adalah Roger Penrose, yang paling terkenal untuk penciptaan puluhan non-jelas tessellations dan tilings.
Saya pikir kata-kata "penemuan" dan "penemuan" sedikit miskin untuk menggambarkan kelahiran matematika jika ada satu. Itu tidak masuk akal bagi saya untuk mengatakan matematika telah muncul seperti ketika Christophe Colomb menemukan Amerika atau diciptakan sebagai bumerang.
Kata matematika mungkin telah diciptakan, bahasa yang digunakan dalam matematika yang tertulis mungkin telah diciptakan tapi abstraksi gerakan dari kata nyata, terstruktur sintesis yang menyanggupi, semua yang memberikan ketebalan untuk matematika itu sendiri (hal ini tergantung apa yang anda sebut matematika) adalah bagian dari umat manusia. Anda don't meminta jika kecantikan telah ditemukan atau diciptakan ?
My personnal point of view adalah bahwa pertanyaan "apa adalah matematika" akan menjadi lebih serius, saya akan menemukan yang lebih menarik "mengapa kita melakukan matematika".
I'm akan menempatkan, diakui tanpa ada penelitian apapun tentang orang-orang yang've didahului pikiran-pikiran ini, bahwa sebuah "penemuan" adalah kind "penemuan," dan apakah hal itu memenuhi syarat sebagai sebuah penemuan ini—yup, anda melihatnya datang—subjective.
Sebagai contoh, kita mungkin mengatakan bahwa roda "ditemukan" atas dasar (1) non-naturality (orisinalitas), dan (2) niat. Artinya, sebelum roda, lingkaran-dan-poros bentuk yang tidak ada di alam, dan tentu saja tidak ada yang bisa menerapkannya untuk fasilitasi gerakan. Selain itu,'s keras(er) untuk membayangkan seseorang ukir lingkaran dengan lubang, kemudian ukir berbicara, kemudian menempatkan dua bersama-sama, tanpa intention dari rolling lingkaran pada berbicara, dalam pikiran. Keadaan ini memberi kita alasan untuk mengatakan bahwa roda "ditemukan."
Tapi, itu's tidak mungkin untuk membayangkan, baik, bahwa seseorang mungkin telah mengukir sebuah lingkaran dengan lubang untuk benar-benar tidak ada alasan untuk melakukan dengan konsep bergulir, maka terjadi untuk tetap menempel di lubang (sekali lagi, untuk tidak direncanakan atau relevan alasan), dan hanya then (atau beberapa saat kemudian) menyadari properti bergulir. Perhatikan bagaimana dalam hal ini, kita're lebih cenderung untuk memanggil roda "penemuan!"
Aku pikir kita cenderung untuk memanggil novel penemuan yang direncanakan dengan hasil, "penemuan."
Jadi, saya akan mengatakan matematika, sebagai seorang jenderal notasi/deduktif sistem, sebagian besar diciptakan. Tetapi konsep-konsep yang ditemukan. (Dan bahkan beberapa notasi memang ditemukan, sementara berjuang untuk kenyamanan, amputasi, dan pictorialization!)
Kedua.
Formal matematika yang dibuat oleh orang-orang, dan doesn't selalu berhubungan dengan apa pun di dunia kita.
Namun, sejarah dan kemajuan matematika berkali-kali berhubungan dengan matematika terapan, yang terkait dengan dunia fisik kita.
Di lain kata - kata- geometri akan tetap berlaku bahkan jika kita akan mengetahui bahwa itu doesn't berlaku untuk dunia fisik kita (dan sebenarnya, itu doesn't...) - Tapi itu's sulit untuk percaya banyak orang akan mulai meneliti bidang ini sebagai murni abstrak lapangan, dengan tidak ada relevansinya dengan masalah nyata dari pembangunan, navigasi, dll.
Matematika adalah sebuah abstraksi. Seperti itu adalah diciptakan oleh manusia untuk berurusan dengan hal-hal konkret yang lebih praktis, dengan memberikan kita alat generik untuk berurusan dengan spesifik.
Kemudian lebih lanjut matematika diciptakan untuk berurusan dengan abstraksi dari awal matematika, yang mengarah ke lebih banyak dan lebih kompleks abstraksi, tetapi penemuan matematika dilakukan untuk berurusan dengan hal-hal konkret, seperti geometri dan perdagangan.
Matematika adalah banyak hal: ada dasar/kompleks badan/struktur, bukti strategi, algoritma, formal manipulasi... dalam rangka untuk mencoba untuk menjawab pertanyaan anda, saya pikir kita harus membuat beberapa perbedaan antara berbagai matematical entitas/kegiatan mana "kreatif" bagian dari pikiran adalah lebih atau kurang relevan. Selain itu beberapa bagian dari matematika yang tampaknya menjadi tidak ditemukan atau diciptakan, mereka tampaknya hanya "diberikan" tertanam di alam kita tata bahasa.
Beberapa contoh dari matematika entitas/kegiatan yang:
Pertama, Quine: "..[If eksternal sejati] definisi [dari hukum matematika] akan menghasilkan semua konsep yang jelas dan berbeda dari ide-ide, dan bukti-bukti akan menghasilkan semua teorema dari self-evident truths." "...kebenaran logika semua jelas atau setidaknya berpotensi jelas..[tapi] matematika hanya untuk mengurangi menetapkan teori dan bukan dengan logika yang tepat." -Epistemologi Naturalisasi; Bab 39.
Implikasi yang suram bagi ontologis objektivitas matematika. Untuk fakta untuk mengurangi pasti salah satu harus hadir sensorik bukti (menjadi "bukti diri"). Pertimbangkan, saya melihat bahwa hal-hal jatuh ke bumi dan tinggal di sana. Saya menjelaskan hal ini kepada diri saya sendiri dengan fisika. Apa yang saya lihat bukan fisika. Fisika adalah suatu kerangka kerja yang diciptakan untuk menggeneralisasi apa yang saya pasrah.
A 1 dan a 1 pada selembar kertas yang tidak sama dengan 2 pada selembar kertas. 1 adalah yang terkecil perdana#, misalnya, sementara 2 adalah yang terkecil bahkan perdana, di antara berbagai perbedaan lainnya.
Sebuah apel di atas meja dan sebuah apel di atas meja tidak sama seperti dua buah apel di atas meja, sebagai himpunan dari dua buah apel bisa menjadi apel yang berbeda. Saya tidak bisa cube dua apel, kecuali untuk membuat pie. Tapi aku tidak bisa membuat pi dengan apple.
Nilai dollar diukur secara matematis. Tetapi jika manusia menghilang, selembar kertas tetap, sedangkan nilai menghilang dengan manusia. Hal-hal yang menempel ke bagian bumi yang terlepas dari keberadaan kita, tetapi teori yang menjelaskan persepsi kita tentang gravitasi tidak.
Yang epistemic objektivitas Matematika ontologis adalah subjektif. Itu hanya ada dalam pikiran kita. Sesuatu yang hanya ada dalam pikiran kita hanya dapat datang ke dalam keberadaan di dalam pikiran kita. Sesuatu yang tidak diciptakan.
Ini adalah pertanyaan serius dan hal ini sama seperti mengatakan: adalah pengetahuan dalam matematika universal atau membangun manusia?
Pi (jumlah, terlepas dari dasar) dan banyak hal-hal lain yang universal, matematika yang ditemukan sampai sejauh itu. Kemudian mereka dapat digunakan untuk memformalkan penemuan yang dapat membuktikan untuk menjadi salah, tepat atau paradoks, dalam cara yang sama pengetahuan (ditemukan) tentang kuda dan badak dapat digunakan untuk (menciptakan dan) berbicara tentang unicorn (yang pernah ditemukan).
Dapat kita katakan (karena banyak jawaban point di sini) biologi itu diciptakan karena unicorn?
Jika dengan "itu ditemukan?" anda berarti "itu ada semua bersama?," saya pikir jawabannya adalah "ya." Menganggap bahwa kita dapat menggunakan matematika untuk "memprediksi" masa lalu ("retrodiction"). Konsep serupa adalah "hindcasting," di mana validitas suatu model ilmiah diuji terhadap data yang tercatat sebelum model itu bahkan diciptakan. Agaknya, dalam rangka untuk retrodiction/hindcasting untuk bekerja, matematika harus ada semua bersama, menghambat evolusi alam semesta. Jika anda membeli argumen ini, hal ini menunjukkan bahwa matematika itu ada selama ini, atau "ditemukan."
Tentu saja, definisi lain yang mungkin.
Saya pikir perbedaan antara ditemukan dan diciptakan adalah sebagian besar tentang bagaimana seseorang memilih untuk menentukan kata-kata ini. Saya pribadi definisi akan bahwa ketika anda dapat menduga bahwa banyak orang lain yang bisa pada prinsipnya menemukan hal yang sama X, maka X cukup dapat dikatakan untuk ditemukan, tetapi bila X cukup sewenang-wenang, seperti notasi tertentu, maka's diciptakan. Misalnya, orang yang berbeda dapat menemukan Mandelbrot set, dan berbagai hubungan dan tokoh-tokoh di sana:
Pada gambar di atas warna-warna yang penemuan, bukan sebuah penemuan. Orang yang berbeda akan mungkin memilih pewarnaan yang sama di sini, tapi saya pikir itu's cukup banyak pilihan artistik. Warna kira-kira mencerminkan seberapa cepat suatu titik di bidang kompleks akan kepala off untuk infinity bawah tertentu berulang square-dan-menambahkan operasi, tetapi mereka tergantung pada banyak parameter (termasuk berapa banyak iterasi satu yang dianggap cukup untuk membangun bandel sifat titik), termasuk, tentu saja, beberapa warna tertentu palet.
Saya pikir ini menggambarkan dengan baik bahwa matematika binatang dapat memiliki aspek yang ditemukan, dan aspek-aspek yang diciptakan. ;-)
Saya matematika sd dosen suka mengatakan
Allah menciptakan angka 0, dan pengganti. Sisanya diciptakan oleh umat manusia.
Saya pikir ada beberapa kebenaran dalam kutipan ini, bahkan jika anda don't percaya pada Tuhan. Jadi untuk menjawab pertanyaan anda: saya'd mengatakan bahwa dasar dari matematika itu ditemukan, tetapi yang paling canggih matematika diciptakan.
Ditemukan, jika hal ini ditemukan, maka siapa pun yang datang dengan π dalam teori bisa saja dibuat itu sama 3, tapi sebaliknya mereka menemukan itu, dan bahwa hal itu irasional nomor. Matematika itu ditemukan, tetapi teknik-teknik yang berbeda dan konvensi yang digunakan untuk perhitungan diciptakan. Jenis seperti, Fisika, hukum fisika yang sudah ada, tetapi manusia telah menemukan cara untuk menggunakan mereka untuk keuntungan mereka dengan penemuan-penemuan mereka.
Sejalan dengan banyak orang lain' menyelidik apa yang 'diciptakan' berarti, penemuan dan penemuan dapat dipandang sebagai hal yang sama, karena keduanya memerlukan aplikasi satu set langkah-langkah bersama dengan berbagai benda di bawah pertimbangan. Bahkan ketika menemukan, mengatakan, benua, pengertian dari benua-ness dan Amerika-ness keduanya penemuan, tetap. Dan bahkan ketika menciptakan, mengatakan, mesin pembakaran internal, hukum fisika yang memungkinkan alat tersebut untuk tetap eksis berada di tempat sebelum penemuan ini, dan dengan demikian pengaturan tertentu dari bagian-bagian yang efek keberadaannya ditemukan.
Jika saja kita akan mendapatkan pertanyaan yang tepat, kita mungkin bisa mendapatkan jawaban yang tepat. Masalahnya adalah, adalah penemuan penemuan atau penciptaan? Sebagai tujuh kali dipatenkan penemu, saya akan memberitahu anda bahwa penemuan ini, setidaknya untuk sebagian besar, discovery. Sebagai agen paten menjelaskan, apa yang diciptakan adalah "metode", cara mendapatkan pekerjaan yang dilakukan. Selama proses penemuan, satu mencoba pada trilyun metode mendapatkan pekerjaan yang dilakukan yang don't bekerja. Ketika seseorang menemukan sebuah metode yang tidak bekerja, nah, yang satu ini memiliki sebuah penemuan.
Bukti penemuan ayat-ayat penciptaan, adalah bukti dari reproduksi. Ketika seseorang yang belum pernah melihat roda sebelum mencoba untuk memecahkan masalah yang menyebabkan benda-benda berat untuk bergerak, ia mungkin sangat baik re-invent the wheel. Ini terjadi sepanjang waktu dengan penemuan. Satu datang dengan metode pemecahan masalah, hanya untuk menemukan bahwa seseorang telah mematenkan penemuan itu sebelum dia. Kreativitas tidak sama pada semua. Jika dua orang yang benar-benar independen datang dengan sama produk kreatif, maka produk kreatif, baik, sederhana. Pada kenyataannya program-program yang digunakan untuk menganalisis perguruan tinggi surat-surat untuk plagiarization. Mereka berusaha pertandingan dalam 7 kata yang berurutan karena hal ini tidak mungkin bahwa dua orang independen datang dengan tujuh sedikit kata-kata dirangkai dengan cara yang sama.
Jadi mari menjadi pertanyaan, "adalah matematika penemuan atau penciptaan?" Meminta para antropolog untuk mencari metode matematika dari budaya lain. Tentunya metode ini akan menjadi ekstrim himpunan bagian dari matematika kami. Namun, mereka masih memiliki beberapa sederhana konsistensi. Dua ditambah dua (meskipun diwakili dengan kata-kata yang berbeda) sama dengan empat. Fakta bahwa dua budaya independen datang dengan logika yang sama set menetapkan bahwa matematika adalah penemuan, bukan penciptaan.
Pandangan saya adalah bahwa Matematika adalah sistem yang diciptakan oleh manusia untuk mewakili hal-hal yang kita tidak bisa atau tidak bisa melihat. Misalnya, kita dapat melihat objek melalui visi dan tahu itu's segitiga, namun, visi kami sendiri tidak memberitahu kita panjang kaki segitiga. Kita membutuhkan matematika untuk menyatakan bahwa bagi kita.
Hanya untuk lebih saya titik, mempertimbangkan Kalkulus. Dua orang yang berada pada sisi yang sama sekali berbeda dari Eropa, Leibniz dan Newton, dibuat sebuah sistem yang yang kedua melakukan hal yang sama. Bagi Newton, f'(x) adalah sama seperti Leibniz' df/dx. Keduanya menghasilkan fungsi yang mewakili kemiringan pada titik tertentu pada fungsi semula, f(x). Mereka menciptakan sebuah sistem untuk mewakili sesuatu yang kita sebaliknya tidak't melihat (yang sudah ada pra - bentuk gunung harus cukup untuk membuktikan bahwa kemiringan yang ada secara alami), satu-satunya perbedaan adalah mereka notasi.
Saya pikir itu's sulit untuk mengatakan. Jika anda percaya bahwa matematika telah ditemukan, anda harus mengasumsikan bahwa "sesuatu" di luar sana, sesuatu yang kita dapat berinteraksi dengan, dari mana kita telah mampu membuktikan keberadaan sejauh ini.
Namun, bahkan dengan asumsi bahwa ada ide-ide di luar sana, saya percaya bahwa tidak ada alasan untuk berpikir bahwa manusia harus, dalam cara apapun, mampu memahami mereka. Sebagai David Deutsch terkenal mengatakan, fakta bahwa kita memahami hukum Alam, cukup banyak seperti mengatakan bahwa anda mendarat di planet lain, dan menemukan alien benar-benar mampu berbicara untuk anda dalam bahasa inggris.
Last but not least, adalah mungkin bahwa model tentang bagaimana alam Semesta bekerja benar-benar salah. Oleh karena itu, kita berbicara tentang ide-ide yang berasal dari model-model yang mungkin, pada akhirnya, jauh dari kebenaran.
Sedikit dari keduanya. Satu menciptakan konsep-konsep matematika, dan kemudian menemukan konsekuensi dari konsep-konsep ini. Sesuatu seperti "menentukan garis dan titik melalui aksioma, dan kemudian menemukan segitiga properties."
Kemudian satu keinginan untuk konsekuensi yang berbeda dan menciptakan konsep-konsep baru, seperti "saya berharap segitiga memiliki jumlah sudut 180 derajat; let's mendefinisikan garis sebagai lingkaran besar pada bola bukan garis di pesawat dan melihat apa yang terjadi."
Dan itu berjalan dan terus, penemuan bergandengan tangan dengan discovery.