Что значит сказать, что математика была изобретена, и чем это отличается от того, что математика была открыта?
Является ли это вообще серьезным философским вопросом или просто бессмысленной/тавтологической лингвистической двусмысленностью?
"Интуиционисты" считают, что математика - это всего лишь творение человеческого разума. В этом смысле можно утверждать, что математика придумана людьми. Любой математический объект существует только в нашем сознании и как таковой не имеет существования.
"Платонисты", с другой стороны, утверждают, что любой математический объект существует, и мы можем только "видеть" его через наш разум. Следовательно, в некотором смысле платоники проголосовали бы за то, что математика была открыта.
Моя личная точка зрения заключается в том, что математики изобрел аксиомы и правила эксплуатации, остальные обнаружен. Математиков изобрел обозначения для записи понятий, которые обнаружен в пределах Вселенной аксиома.
Понятие числа не существует, но мы придумываем нотации, что символ '1' и звук /wʌn/ относится к понятию единственного объекта, который мы обнаружили. Мы придумали правила перемножения матриц, но последствия, как мы делаем перемножение матриц обнаружен.
Большую часть времени, мы сознательно придумывать набор аксиом, которые позволят нам открыть для себя набор фактов, мы хотим, чтобы быть правдой. Это, конечно, верно с мнимыми числами, мы их придумали, так что мы можем обнаружить варианты решения проблем мы уже были не в состоянии или сложно решить.
Есть вещи, которые обнаружил, и вещи, которые придуманы. Граница ставится в разных местах разными людьми. Я ставлю себя в списке и считаю, что моя позиция является объективно оправданным, а другие нет.
По соображениям probablistic, я уверен, что в истории Земли никто никогда не делал следующего умножения:
9306781264114085423 х 39204667242145673 = ? Тогда, если я вычислить его, я выдумываете's стоимостью или выявляя значение? Смысл слова, что "изобрести" и "открыть" и немного непонятно, но, как правило, один говорит открывать, когда есть определенные свойства: имеет ли значение имеют независимые уникальными качествами, которые мы знаем заранее (как нечетное)? Можно ли получить два разных ответа и рассмотрим как правильно? и т. д. В этом случае, все согласятся, значение было обнаружено, так как мы на самом деле можем сделать расчет--- и ни один (здравомыслящий) человек думает, что ответ составлен бред, или, что это не'т-количество коробок в прямоугольнике с соответствующей стороны и т. д. Есть много нерешенных проблем в этой конечной категории, так это'т тривиально:
- Шахматы выиграл белыми, выиграл на черный, или ничья, в идеальной игры?
- Каковы максимальные пираха предложений с именами?
- Какова длина кратчайшего доказательства в ZF основной теоремы номер? Примерно?
- Каков список 50 пересечение узлов? Вы можете пойти на вечно, как наиболее интересные математические задачи интересны в конечных домен тоже.
Обнаружен: асимптотическое вычисление
Рассмотрим теперь произвольную компьютерную программу, и будет ли он останавливается или не останавливается. Это проблема, что называется "Пи-0-1 я арифметические предложения и, в логике первого порядка, но я предпочитаю полностью эквивалентные формулировки в терминах прекращение программ для ЭВМ, а логические жаргон является менее доступным, чем жаргон, Программирование. Учитывая определенный компьютер программы P, написанных на C (или другой Тьюринг-полного языка) соответствующим образом изменены, чтобы позволить сколь угодно большой объем памяти. Эта программа возвращает ответ в конечное время, или работать вечно? Это включает в себя здоровенный кусок из самых знаменитых математических гипотез, я перечислю несколько:
- Гипотеза Римана (в любой формулировке)
- В Гольдбаха.
- Нечетное совершенное число домысливать
- Диофантовых уравнений (как Ферма'теорема с)
- последовательность ЗФ (или любой другой первый заказ набор аксиом)
- Knesser-Поулсона гипотеза о сфере-перераспределение Можно верить одной из двух
- "и не п стой!" это absolutely meaningful, так что никто не может знать, что оно является истинным или ложным, не зная что.
- то "Не п стой", которая только обретает смысл после прекращения П, или доказательство того, что он не'т остановить в любой формальной системе, так что имеет смысл ввести категорию на "неизвестно что" на этот вопрос, и "неизвестных" и категория, возможно, не в конечном итоге стала пустой, как это бывает в случае конечномерной задачи. Вот где интуиционисты остановить. Знаменитое имя здесь
- Ж. Е. Л. Брауэр В интуиционистской логики разрабатывается в тех случаях, когда возникают вопросы, ответ на который не определяется истинным или ложным, так что никто не может решить закон исключенного третьего. Такое положение оставляет открытой возможность, что некоторые компьютерные программы, которые Дон'т остановить очень трудно доказать остановке, и нет никакого механизма для этого. А интуиционизм-это полезно в ситуациях несовершенных знаний (как и у нас, всегда), это не то место, где большинство математиков остановить. Есть твердое убеждение, что вопросы на этом уровне является либо истинным, либо ложным, мы просто не'т знаем, что. Я согласен с этой позицией, но я не'т думаю, что это тривиально, чтобы возразить против точки зрения intutionist.
Большинство считают обнаружен: арифметической иерархии.
Есть вопросы по математике, которые не могут быть ключевыми словами, как не остановить компьютерной программы, по крайней мере, без изменения концепции программы"и " и;. Они включают
- Премьер-близнец догадках
- В transcedence е+Пи. Чтобы проверить эти вопросы, нужно бежать по делам, где в каждой точке вы должны проверить, где компьютерная программа останавливается. Это означает, что вы должны знать бесконечно много программ остановке. Например, чтобы знать, что есть бесконечно много простых чисел-близнецов, нужно показать, что программа, которая ищет простые числа-близнецы начиная с каждой найденной пары остановится на следующей найденной пары. На вопрос трансцендентности, вам предстоит бегать по всех многочленов, вычислить корни, и показывают, что в конце концов они отличаются от Е+Пи. Эти вопросы находятся на следующем уровне арифметической иерархии. Их вычислительная формулировка еще более интуитивным--- они соответствуют проблемы остановки для компьютера, который имеет доступ к решению обыкновенного проблемы остановки. Вы можете подойти арифметической иерархии, и предложения, которые выражают домыслы об арифметической иерархии на любое конечное уровня арифметики Пеано. Есть те, кто считают, что Пеано Arithemtic является правильной основы, и эти arithemtically мыслящие люди перестанут в конце иерархии arithemtic. Я полагаю, можно было бы Кронекер здесь:
- Леопольд Кронекер: "и Бог создал натуральные числа, все остальное-дело рук человека.&и" Предположить, что предложения об арифметической иерархии являются абсолютными, а не другим, это возможная позиция. Если вы включают в себя аксиомы индукции на эти заявления, вы получите теорию арифметики Пеано, которая имеет порядковый номер сложности, которая полностью понятна, так как Гентцен, и это описано порядковый Эпсилон-нет. Эпсилон-нет очень конкретные, но я видел последние аргументы, что она не может быть обоснованной! Это совершенно смешно для тех, кто знает, Эпсилон-нет, и эта идея может ударить будущих поколений столь же глупо, как и идея о том, что число песчинок в шаре размером с Землю'с орбиты бесконечно--- это идея явно опровергнуто в "песок учебником" и Архимедом.
Самое обнаружен верю: Hyperarithmetic иерархии.
Иерархия hyperarithmetic часто сформулированы в терминах второго порядка арифметики, но я предпочитаю, чтобы государство это вычислительно. Предположим, я дам вам все решение проблемы сдерживания на всех уровнях арифметической иерархии, и объединяете их в один бесконечный компакт-диск, который содержит решение всех этих одновременно. Чем проблема останова с этого компакт-диска (полное арифметической иерархии прекращение оракул) определяет новую проблему-остановить - омега-й прыжок из 0 в рекурсии теория жаргон, или просто омега-оракул. Вы можете перебирать слова до порядкового списка, и производить все более сложные прекращение проблем. Вы можете поверить, что это значимый для любых ординалов, которые производят пленку. Существуют различные остановочных пунктов по иерархии hyperarithmetic, которые обычно обозначены на их второго порядка arithemtic версию (что я не'т знаю, как перевести). Эти позиции не являются естественными остановочных пунктов для кого-либо.
Церковь Клини порядковый
Я здесь. Все, что меньше этого, я принимаю, все, что сверх этого, я считаю объективно изобрели. Причина в том, что Церковь-Клини порядковый предел всех счетных вычислимых ординалов. Это позиция вычислительные основы, и оно, по сути, позиция советской школы. Люди я бы поставил такие
- Юрий Манин
- Павел Коган В случае Пауль Коэн, я не уверен. Порядковые номера ниже Церкви Клини все те, что мы можем наверняка представляют собой на компьютере, и работать с, и выше концепции сомнительна.
Первое несчетное порядковое
Если вы делаете аксиоматической теории множеств с заданной мощности, можно определить объединение всех счетных ординалов, и это первое несчетное порядковое. Некоторые люди останавливаются здесь, отказавшись от несчетных множеств, как множество действительных чисел, в качестве изобретений. Это очень похожие позиции в шахты, провел человек на рубеже 20-го века, который принял Счетную бесконечность, но не несчетные бесконечности. Те, кто были здесь включают много известных математиков
- Торвальд Сколема Сколема'ы теорема была попытка убедить математиков, что математика является счетным. Я должен отметить, что Церковь Клини порядковый номер не был определен до 1940-х годов, так что это самое близкое положение к вычислительным в первой половине 20-го века.
Континуум
Большинство практически мыслящих математиков остановиться здесь. Они стали опасаться конструкции, как множество всех функций на вещественной прямой, так как эти места являются слишком большими для интуиции, чтобы справиться с комфортом. Нет формального школьного фонда, который останавливается на континууме, это просто место, где люди перестают быть удобными в абсолютности математической истины. Континуум есть вопросы, которые знаны, что будут неразрешимые методами, которые являются убедительными, что это расплывчатость в наборе концепции на данный момент не в системе аксиом.
Первый Недоступный Кардинал
Это место, где большинство платоников остановить. Все что ниже это описано для ZFC. Я думаю, что самый известный человек здесь:
- Saharon Шела Я предполагаю, что это его платонической Вселенной, так как он так сказать прямо в интро к одной из его более известных ранних работ. Он, возможно, изменил свое мнение.
Бесконечно много Вудин кардиналов
Это место, где люди, которые любят проективной детерминированности остановить. Вполне вероятно, что определенность выступает верят в постоянство определенность, и это дает им доказательств согласованности Вудин кардиналов (хотя их аргументация несколько богословских звучание без соответствующего расчетного обоснования точки зрения о невероятно сложных счетно вычислимых порядковый номер, который служит доказательством теории для этого) Это включает в себя
- Хью Вудин
Возможно, придумал: ранг-в ранг аксиомы
Я скопировала это из страница Википедия, это самые крупные большие кардиналы математики является на сегодняшний день. Это, вероятно, где большинство логиков остановить, но они опасаются возможных противоречий. Эти аксиомы отражения аксиомы, они составляют теоретико-множественные модели личности-simialar в сложные способы в больших местах. Структура модели очень богата, и у меня нет интуиции вообще, как я едва знаю этого определения (я просто читал это на Вики).
Придумал: Райнхард Кардинал
Это предел почти всех практикующих математиков, поскольку они оказались несовместимы, по крайней мере, используя аксиому выбора. Так как большую часть в структуре теории множеств сделан очень элегантно с выбором, и анти-выбор аргументов обычно не связаны с Гедель стиле большие-кардинал предположения, люди считают Рейнхардт кардиналов противоречивы. Я предполагаю, что почти все рабочие математиков считают Рейнхардт кардиналов, как воображаемые сущности, что их изобретение, и несогласованном изобретенным.
Наверняка придумали: множество всех наборов
Этот уровень является самым высоким из всех, в традиционном заказ, и люди начали в конце 19-го века. Интуитивный набор
- Набор всех комплектов
- Порядковый предел всех ординалов Эти идеи оказались несовместимы Кантор с помощью простой аргумент (рассмотрим порядковые лимита плюс один, или мощность множества множество всех множеств). Парадоксы были популяризировал и заточенный Рассел, то решается Уайтхед и Рассел, Гильберт, Гедель, и Zermelo, используя аксиоматический подходы, которые лишены этого объекта. Каждый согласится, этот материал изобретен.
Это лишь частичный ответ:
Как математику, мне время от времени задают подобные вопросы. Как и большинство других математиков, я склонен уклоняться от ответа, потому что он непростой. Обычно вопрос задается в форме: "Вы платоник?"
Здесь речь идет о вечной форме Платона, которую мы способны распознать и которая позволяет нам распознавать окружающий мир (в конце концов, не очевидно, что мы все еще должны быть способны распознать ампутанта как человека, когда мы впервые видим его или ее, например). Когда меня заставляют продолжать, я обычно отвечаю "Нет"
Я думаю, что фундаментальная проблема платонизма суммирована в [статье] Брайана Дэвиса1, метко названной "Пусть платонизм умрет." Я также добавлю - если математическое 'открытие' еще не открыто, существует ли оно? Платонист скажет, что абсолютно. Интуиционист либо скажет, что его не существует, либо оно существует только в том смысле, что какая-то нынешняя или будущая математическая система, придуманная и сформулированная вульгарно людьми, приведет к гораздо большему числу теорем - т.е. оно существует только как продолжение того, что мы уже создали.
Но в конечном счете, я не думаю, что это различие очень важно, если не считать теистических или нейронных последствий. Платонист сказал бы, что когда мы узнаем, например, треугольник, это происходит потому, что мы узнаем форму треугольника, некий идеализированный, совершенный, трансцендентный объект. Это имеет большой смысл, поскольку платонизм, очевидно, имеет своими корнями Платона, который много читал о божественной связи между математикой и миром, проповедуемой Пифагором.
В качестве последнего замечания я должен сказать, что многие известные математики находятся по обе стороны забора. Самым известным платонистом, как мне кажется, является Роджер Пенроуз, который наиболее известен созданием десятков неочевидных тесселяций и тилингов.
Я думаю, что изобретение" и " словами "у;Открытие" и немного бедны, чтобы описать рождение математики, если он есть. Нет смысла для меня, чтобы сказать, математически появился, когда Кристоф Коломб открыл Америку или изобрел, как бумеранг.
Слово в математике, возможно, были изобретены, язык, на котором математики написаны были изобретены, но абстракция движение от реального слова, структурный синтез, который он на себя берет все, что дают толщину математики сами (это зависит от того, что вы называете математике) часть человечества. Вы Don'т спросить, если красота уже открыли или изобрели ?
Мои личные точки зрения заключается в том, что вопрос "Что такое математика" и будет более серьезным, я бы нашел еще более интересные "Почему мы делаем математики и".
Я'м собираюсь утверждать, правда без каких-либо исследований, либо о тех, кто'вэ предшествовали такие мысли, что собой "изобретение" и это kind о том, что "Открытие" Ну и что ли что квалифицируется как изобретение усилителя;amp; mdash;не да, вы видели его ближайшие и amp;mdash;не subjective.
Например, мы могли бы сказать, что колесо было на "изобрел" на основании (1) не-натуральность (оригинальность), и (2) намерение. То есть, перед колесо, круг-и-мост формы не существует в природе, и поэтому, конечно, никто не мог применить его к облегчению движения. Кроме того, это's жесткий(РП), чтобы представить себе вырезала круг с отверстием, затем резьба палки, потом соединяем все вместе, не имея intention из rolling кружок на спице, в виду. Эти обстоятельства дают нам основания говорить, что за рулем был "не придумал.&и"
Но, это's не невозможно представить, что кто-то вырезал круг с отверстием для абсолютно никаких оснований для общего с понятием прокатки, затем произошло совать палку в отверстие (опять же, за не предумышленное или соответствующих оснований), и только then (или позже) понял свою собственность прокатки. Обратите внимание, как в этом случае, мы'вновь больше склонны называть колесо "Мои открытия!&и"
Я думаю, что мы склонны называть новые открытия в умышленном результаты, то "изобретений&и"
Поэтому, я бы сказал, что математика, как общее нотационной/дедуктивная система, был в основном придуман. Но его концепции были обнаружены. (И даже некоторые обозначения были действительно обнаружен, стремясь за удобство, лаконичность и pictorialization!)
Оба.
Формальной математики создается людьми, а не'т должен относиться к чему угодно в нашем мире.
Однако, история и прогресс математики во много раз, связанных с прикладной математики, который связан с нашим физическим миром.
Другими словами - геометрия останется в силе, даже если мы узнаем, что это не'т быть верным и в отношении нашего физического мира (а на самом деле, это не'т...) - но это'ы трудно поверить, что многие люди начали исследовать это поле как чисто абстрактная сфера, которая не имеет никакого отношения к реальным проблемам строительства, навигации и т. д.
Математика - это абстракция. Как таковая, она была изобретена людьми для того, чтобы иметь дело с конкретными вещами более практичным образом, предоставляя нам общие инструменты для работы с конкретными вещами.
Позже было изобретено еще больше математики, чтобы справиться с абстракциями предыдущих математик, что привело к появлению все более сложных абстракций, но изобретение математики было сделано для решения конкретных задач, таких как геометрия и торговля.
Математики много чего: есть базовая/комплекса органов/структур, доказательства стратегий, алгоритмов, формальных манипуляций... для того, чтобы попытаться ответить на ваш вопрос, я думаю, мы должны сделать какое-то различие между разными математическое организаций/деятельность где-то "творческий" по части мысли более или менее актуальными. Кроме того, некоторые части математики, похоже, не обнаружено ни создали, они кажутся просто "не дано" и внедренные в наш естественный язык грамматика.
Некоторые примеры математических структур/деятельности, которая:
Во-Первых, Куайн: и"..[Если внешне правда] определения [математических законов] будет генерировать все понятия из ясных и отчетливых идей, и доказательств бы генерировать все теоремы из самоочевидной истины.&и" " и...истины логики все очевидно, или, по крайней мере потенциально очевиден..[но] математика сводит только к теории множеств, а не логика правильная.&и" -Натурализация Эпистемологии; Глава 39.
Последствия являются неблагоприятными онтологической объективности математики. Для того, чтобы свести к определенности необходимо представить сенсорные данные (чтобы быть "очевидным" - а). Рассмотрим, я вижу, что вещи падают на землю и остаются там. Я объясняю это для себя с физикой. Что я вижу, это не физика. Физика является основой придумали, чтобы обобщить то, что я ощущаю.
1 и 1 на листе бумаги не то же самое как 2 на листе бумаги. 1-это наименьшее простое#, например, 2-это наименьшее, даже не премьер, среди множества других различий.
Яблоко на столе и яблоко на столе не такое, как два яблока на столе, как набор из двух яблок могут быть разные яблоки. Я не могу кубик два яблока, кроме того, чтобы сделать пирог. Но я не могу сделать пи с яблоком.
Стоимость доллара измеряется математически. Но если люди исчезают, на бумажке остается, а исчезает с людьми. Вещи прилипают к Земле, независимо от нашего существования, но теории, описывающие наше восприятие гравитации не.
Эпистемологических объективность математики онтологически субъективны. Он существует только в нашем сознании. То, что существует только в нашем сознании только начинает существовать в нашем сознании. То, что это придумано.
Это серьезный вопрос, и он же говорил: это знания в области математики универсальный или выдумка человечества?
Пи (число, независимо от его базы) и многое другое универсалий, математики обнаружены до такой степени. Затем они могут быть использованы для оформления изобретений, которые могут оказаться неверной, так или парадоксальным, точно так же, как знание (обнаружен) про лошадей и носорогов могут быть использованы для (и придумывать) говорить о единорогах (которые никогда не были обнаружены).
Мы можем сказать (как и многие ответы здесь), что биология была изобретена из-за единорогов?
Если по "и был он обнаружен?" Вы имеете в виду "и был там все вместе?," Я думаю, что ответ "Да&.я считаю, что мы можем использовать математику, чтобы "предсказать" в прошлом (на"retrodiction и"). Похожая концепция есть "ретроспективное,", где действительность научные модели проверяются данные, которые были записаны до того, как модель была даже придумана. Предположительно, для того, для retrodiction/ретроспективное работы, математика должны быть там все вместе, сдерживая эволюции Вселенной. Если вы покупаете этот аргумент, это говорит о том, что математики там все вместе, или "обнаружил&.и"
Конечно, другие определения возможны.
Я думаю, что различие между изобретен в основном о том, как каждый выбирает для определения этих слов. Мое личное определение будет, что, когда вы можете разумно предположить, что многие другие люди могут в принципе найти такую же вещь х, то Х может разумно быть обнаружен, но, когда X является довольно произвольным, как конкретное обозначение, то это'ы придумал. Например, разные люди могут обнаружить множество Мандельброта и различные отношения и цифры там:
На изображении выше цвета являются изобретения, а не открытия. Разные люди может выбрать похожий цвет, но я думаю, что это'ы довольно много художественного выбора. Цвет примерно отражают то, как быстро точка в комплексной плоскости башку до бесконечности при определенных повторяющихся квадратных и добавить операции, но они зависят от многих параметров (в том числе, сколько итераций считается достаточным, чтобы установить своенравный характер с точкой), в том числе, конечно, некоторые особенности цветовой палитры.
Я думаю, это хорошо иллюстрирует, что сама же математическая зверь может иметь аспекты, которые обнаруживаются, и аспекты, которые придуманы. ;-)
Моя элементарная математика преподаватель любит говорить
Бог создал число 0, и наследник. Остальное было придумано человечеством.
Я думаю, что есть доля правды в этой цитате, даже если вы Don'т верю в Бога. Так что ответ на твой вопрос: Я'd не сказать, что в основе математики был обнаружен, но большинство сложную математику придумали.
Обнаружен, если он был изобретен, то тот, кто придумал π в теории мог просто сделать его равным 3, но вместо этого они обнаружили, что это, и что это иррациональное число. По математике был обнаружен, но в разных техниках и соглашения, используемые для расчета были изобретены. Вроде как, физика; физические законы уже существовали, но человек открыл, как использовать их в своих интересах с их изобретениями.
В соответствии со многими другими' прощупывание на то, что 'изобрел' означает, изобретения и открытия можно рассматривать как то же самое, как требовать применения набор действий, наряду с различными объектами рассмотрения. Даже при обнаружении, скажем, континента, понятия континент-Несс и Америки-Несс как изобретения, тем не менее. И даже когда придумывали, скажем, двигатель внутреннего сгорания, законы физики, которые позволили такое устройство существовать до изобретения, и, таким образом, конкретное расположение деталей какие последствия ее существования был обнаружен.
Если только мы получим вопрос, мы можем получить правильный ответ. Проблема в том, что изобретение, открытие или создание? Как семь раз запатентовал изобретатель, я вам скажу, что изобретение, по крайней мере, в значительной степени открытием. Как мой патентный поверенный объяснил, что изобрел, так это на "метод" и, способ выполнения работы. В процессе изобретения, один примеряет методы несметное получать работу сделано, что Дон't работа. Когда откроете для себя метод, который работает, хорошо, есть изобретение.
Доказательством обнаружения творение стихи, является доказательством размножения. Когда человек, который никогда не видел колеса, прежде чем попытается решить проблемы, вызывающие тяжелые предметы двигаться, он может заново изобретать колесо. Это происходит все время с изобретениями. Один придумывает способ решения проблемы, только чтобы обнаружить, что кто-то запатентовал это изобретение до него. Творчество не нравится. Если два человека действительно самостоятельно придумать такой же творческий продукт, потом их творческий продукт, ну, просто. На самом деле программы используются для анализа колледже документы для plagiarization. Они стремятся к Играм в 7 последовательности слов, поскольку маловероятно, что два человека самостоятельно придумать семь слов вместе таким же образом.
Так что давайте вопрос! "это математика открытие или творение?&я прошу антрополог выискивать математические методы других культур. Конечно, эти методы будут экстремальные подмножества в нашей математике. Однако, они все еще есть некоторые простые закономерности. Два плюс два (хотя и разными словами) равен четырем. Тот факт, что независимо двух культур придумают же логика устанавливает устанавливает, что математика-это Открытия, а не создания.
Мой взгляд на то, что математика-это система, придуманная человеком, чтобы представлять, что мы иначе не можем или не можем воспринять. Например, мы можем воспринимать предмет с помощью зрения и знаю, что это'ы треугольник, однако только наше зрение не говорит нам длины катетов треугольника. Нам нужна математика, чтобы представлять, что для нас.
Просто в дальнейшем моя точка зрения, считать интегралы. Два человека, которые находились на совершенно разных сторон Европы, Лейбниц и Ньютон, создана система, что оба делают то же самое. Для Ньютона, Ф'(х) такой же, как и Лейбниц' ДФ/ДХ. Оба они дают функцию, которая представляет собой наклон в любую заданную точку на исходной функции f(х). Они придумали систему, чтобы представлять то, что мы иначе не мог'т воспринимать (который был ранее существовавших - в форме горы должно быть достаточно, чтобы доказать, что склон существует естественно), разница лишь в их представлении.
Я думаю, что это'ы трудно сказать. Если вы считаете, что математика была обнаружена, необходимо предположить, что "нечто" это там, то мы можем взаимодействовать с, которой мы не смогли до сих пор доказать существование.
Однако, даже если допустить, что существуют идеи там, я считаю, что нет никаких оснований думать, что люди должны быть, в любом случае, могли в них разобраться. Как Дэвид Дойч лихо сказал, то, что мы понимаем законы природы, довольно много, как сказать, что вы попали на другую планету, и найти иностранцев вполне способен говорить с вами на английском языке.
Последнее, но не менее, вполне возможно, что наши модели, как Вселенная работает совершенно неправильно. Следовательно, речь идет об идеях, почерпнутых из наших моделей, которые могут быть, в конечном счете, путь от истины.
Немного обоих. Один изобретает математические понятия, а затем обнаруживает последствия этих понятий. Что-то как-то "определение линии и точки через аксиомы, а затем откройте свойства треугольника.&и"
Тогда одно желание к разным последствиям и придумывает новые концепции, что-то вроде "Я желаю треугольника сумма углов больше 180 градусов; давайте'ы определить линии больших кругов на сфере вместо линий на плоскости и посмотреть, что происходит.&и"
И он идет дальше и дальше, изобретение рука об руку с открытием.